АЛГЕБРАЇЧНО-ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РАЦІОНАЛЬНІ НОРМАЛІЗОВАНІ КРИВІ У ПРОСТОРОВОМУ ГЕОМЕТРИЧНОМУ МОДЕЛЮВАННІ

Автор(и)

  • Наталія Бондаренко Київський національний університет будівництва і архітектури, Україна https://orcid.org/0000-0002-6078-9467
  • Валентина Отрашевська Київський національний університет будівництва і архітектури, Україна https://orcid.org/0000-0001-9879-1442
  • Олена Нестеренко Київський національний університет будівництва і архітектури, Україна https://orcid.org/0000-0001-6908-5821

DOI:

https://doi.org/10.32347/0131-579X.2026.110.25-39

Ключові слова:

афінна інваріантність, перша кривина кривої, геометричне моделювання, алгебраїчно-тригонометричні раціональні нормалізовані криві

Анотація

У роботі розглядаються просторові алгебраїчно-тригонометричні раціональні нормалізовані криві, які застосовуються в задачах геометричного моделювання. Актуальність роботи зумовлена потребою розширення здатності класичних раціональних базисів описувати різні просторові форми при збереженні їх фундаментальних геометричних властивостей. Запропоновано математичну модель кривих, побудовану на основі раціонального нормалізованого подання з використанням алгебраїчно-тригонометричних базисних функцій. Такий підхід дає можливість використовувати додаткові параметри керування формою без збільшення кількості контрольних точок. Доведено афінну інваріантність пропонованого класу кривих та встановлено умови збереження властивостей опуклої оболонки. Отримано аналітичні вирази для основних диференціально-геометричних характеристик, що дозволяє досліджувати локальну геометричну поведінку кривої. Сформульовано достатні умови відсутності точок перегину, які є важливими для якісного аналізу геометрії кривої. Виведено умови -гладкості та -гладкості стику просторових сегментів кривої. Наведені приклади та графічні ілюстрації демонструють гнучкість керування просторовою формою та відповідність отриманим теоретичним результатам. Показано, що використання тригонометричних компонент розширює клас допустимих просторових форм порівняно з класичними алгебраїчними моделями. Одержані результати можуть бути основою подальшого розвитку методів алгебраїчно-тригонометричного моделювання просторових кривих. Запропонований підхід може використовуватися при розробці алгоритмів геометричного моделювання в сучасних CAD/CAM-системах.

Біографії авторів

Наталія Бондаренко, Київський національний університет будівництва і архітектури

к. ф.-м. н., доцент

Валентина Отрашевська, Київський національний університет будівництва і архітектури

к.ф.-м.н., доцент

Олена Нестеренко, Київський національний університет будівництва і архітектури

к. т. н., професор

Посилання

Література

Piegl L., Tiller W. The NURBS Book, 2nd ed., Springer, 1997. 646 p.

Farin G. Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide, 5th ed., Morgan Kaufmann, 2002.

González C. Algebraic-trigonometric Pythagorean hodograph curves for solving planar and spatial interpolation problems and their use for visualizing dental information within 3D tomographic volumes. Algebraic Geometry. Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambresis, 2018.

Hoschek J., Lasser D. Fundamentals of Computer Aided Geometric Design, A K Peters, 1993.

Wu R., Peng G. Shape analysis of planar trigonometric Bézier curves with two shape parameters. International Journal of Computer Science Issues, vol. 10, no. 2, 2013, P. 441447.

Bashir U., Abbas M., Ali J.M. The G2 and C2 rational quadratic trigonometric Bézier curve with two shape parameters with applications, Applied Mathematics and Computation, vol. 219, no. 20, 2013. P. 10183–10197.

Han X.A., Ma Y.C., Huang X.L. The cubic trigonometric Bézier curve with two shape parameters, Applied Mathematics Letters, vol. 22, no. 2, 2009, P. 226-231.

Sendra R., Winkler F., Pérez-Díaz S. Rational Algebraic Curves: A Computer Algebra Approach, Springer, 2008.

Бондаренко Н.В., Отрашевська В.В. Моделювання проторових кривих годографа Піфагора із заданою формою, Прикладна геометрія та інженерна графіка, № 108, 2025, С. 18-31.

Romani L., Saini L, Albrecht G. Algebraic-trigonometric Pythagorean-hodograph curves and their use for Hermite interpolation, Advances in Computational Mathematics, 2014, 40 (5-6), P. 977-1010.

Reference

Piegl L., Tiller W. The NURBS Book, 2nd ed., Springer, 1997. 646 p. {in English}

Farin G. Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide, 5th ed., Morgan Kaufmann, 2002. {in English}

González C. Algebraic-trigonometric Pythagorean hodograph curves for solving planar and spatial interpolation problems and their use for visualizing dental information within 3D tomographic volumes. Algebraic Geometry. Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambresis, 2018. {in English}

Hoschek J., Lasser D. Fundamentals of Computer Aided Geometric Design, A K Peters, 1993. {in English}

Wu R., Peng G. Shape analysis of planar trigonometric Bézier curves with two shape parameters. International Journal of Computer Science Issues, vol. 10, no. 2, 2013, P. 441447. {in English}

Bashir U., Abbas M., Ali J.M. The G2 and C2 rational quadratic trigonometric Bézier curve with two shape parameters with applications, Applied Mathematics and Computation, vol. 219, no. 20, 2013. P. 10183–10197. {in English}

Han X.A., Ma Y.C., Huang X.L. The cubic trigonometric Bézier curve with two shape parameters, Applied Mathematics Letters, vol. 22, no. 2, 2009, P. 226-231. {in English}

Sendra R., Winkler F., Pérez-Díaz S. Rational Algebraic Curves: A Computer Algebra Approach, Springer, 2008. {in English}

Bondarenko N.V., Otrashevska V.V. Modeliuvannia protorovykh kryvykh hodohrafa Pifahora iz zadanoiu formoiu, Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika, № 108, 2025, S. 18-31. {in Ukranian}

Romani L., Saini L, Albrecht G. Algebraic-trigonometric Pythagorean-hodograph curves and their use for Hermite interpolation, Advances in Computational Mathematics, 2014, 40 (5-6), P. 977-1010. {in English}

##submission.downloads##

Опубліковано

2026-06-05

Номер

№ 110 (2026): ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТРІЯ ТА ІНЖЕНЕРНА ГРАФІКА

Розділ

Статті

Ліцензія

Creative Commons License

Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:

Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.

Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.

Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).