НОРМАЛІЗАЦІЯ ПАРАМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ ГАУСІВСЬКО-МОДИФІКОВАНИХ ЦИКЛОЇДАЛЬНИХ КРИВИХ
DOI:
https://doi.org/10.32347/0131-579X.2026.110.128-138Ключові слова:
граничні умови, аеродинамічний обвід, нормалізація профілю, функція Гауса, модифікована циклоїда, геометричне моделюванняАнотація
У статті вирішується актуальна науково-практична задача геометричного моделювання обводів технічних форм, що функціонують у складних газодинамічних умовах. Об’єктом дослідження є процес формування високогладких параметричних ліній для проєктування носових частин об’єктів авіаційної та ракетної техніки. Наукова проблема полягає у виникненні геометричної суперечності при спробі локальної модифікації профілю: введення додаткових функцій для керування кривиною призводить до неконтрольованого відхилення координат термінальних точок від заданих габаритних розмірів (калібру та довжини виробу).
Запропоновано математичну модель, в основі якої лежать параметричні рівняння циклоїди, модифіковані апроксимаційним апаратом гаусівського розподілу. Використання гаусівської функції дозволяє здійснювати прецизійне локальне керування радіусом твірної окружності, забезпечуючи при цьому збереження високого класу гладкості кривої (C3). Основну увагу приділено розробці та аналітичному обґрунтуванню підходу нормалізації отриманих рівнянь. Автором виведено нормалізаційний оператор N, інтеграція якого у структуру радіус-функції забезпечує інваріантність положення кінцевої точки профілю незалежно від варіації параметрів модифікації (амплітуди α, локалізації σ та положення піку μ).
Достовірність розробленого підходу підтверджено серією обчислювальних експериментів. На основі кількісного аналізу даних встановлено, що без застосування процедури нормалізації похибка координат термінальної точки може сягати значних величин: від 1.31 % при варіації амплітуди α до 4.36 % при зміщенні піку модифікації μ від початкової точки кривої до межі цільового інтервалу (μ → π/2). Для малогабаритних технічних форм такі відхилення (понад 1.2 мм при довжині 26.5 мм) виходять за межі технологічних допусків прецизійного машинобудування. Доведено, що впровадження оператора нормалізації N повністю нівелює зазначені похибки, гарантуючи нульове відхилення в опорних вузлах.
Наукова новизна роботи полягає у розробці аналітичного підходу компенсації впливу модифікуючих функцій на граничні умови трансцендентних кривих. Практичне значення отриманих результатів полягає у можливості розділення задачі аеродинамічної оптимізації форми та задачі забезпечення геометричних обмежень. Запропонована модель легко інтегрується в сучасні системи автоматизованого проєктування (CAD), дозволяючи автоматизувати синтез складних технічних обводів із наперед заданими габаритними характеристиками.
Посилання
Література
Anderson J. D. Jr. Fundamentals of Aerodynamics. 3rd ed. New York : McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 2001. 892 p.
McCoy R. L. Modern Exterior Ballistics: The Launch and Flight Dynamics of Symmetric Projectiles. 2nd ed. Atglen : Schiffer Publishing, 2012. 328 p.
Carlucci D. E., Jacobson S. S. Ballistics: Theory and Design of Guns and Ammunition. 3rd ed. Boca Raton : CRC Press, 2018. 712 p. {in English}
Wang Q. C., Wang Z. G. An experimental investigation of the supersonic turbulent boundary layer subjected to convex curvature. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part G: Journal of Aerospace Engineering. 2018. Vol. 232, No. 6. P. 1015–1023. DOI: 10.1177/0954410017694551
Carmo M. P. Differential Geometry of Curves and Surfaces. 2nd ed. Mineola : Dover Publications, 2016. 512 p.
Gray A., Abbena E., Salamon S. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. 3rd ed. Boca Raton : Chapman & Hall/CRC, 2006. 984 p.
Fuentes H. E. Total generalization of the cycloid. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 1997. Vol. 28, No. 2. P. 243–247. DOI: 10.1080/0020739970280207
Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9th ed. Washington, D.C. : Dover Publications, 1983. 1046 p.
Al-Nahhal I., Dobre O. A., Basar E., Moloney C., Ikki S. A Fast, Accurate, and Separable Method for Fitting a Gaussian Function. IEEE Signal Processing Magazine. 2019. Vol. 36, No. 6. P. 157–163. DOI: 10.1109/MSP.2019.2927685
Liu W., Wang B. A modified approximate method based on Gaussian radial basis functions. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2019. Vol. 100. P. 256–264. DOI: 10.1016/j.enganabound.2018.05.012 {in English}
Аушева Н., Каленюк О., Сидоренко Ю. Побудова замкнених гладких кривих інтерполяційним поліномом гауса. Сучасні проблеми моделювання. 2024. Вип. 26. С. 21–28. DOI: 10.33842/2313125X-2024-26-21-28
References
Anderson, J. D. Jr. (2001). Fundamentals of Aerodynamics (3rd ed.). New York: McGraw-Hill Science/Engineering/Math {in English}.
McCoy, R. L. (2012). Modern Exterior Ballistics: The Launch and Flight Dynamics of Symmetric Projectiles (2nd ed.). Atglen: Schiffer Publishing {in English}.
Carlucci, D. E., & Jacobson, S. S. (2018). Ballistics: Theory and Design of Guns and Ammunition (3rd ed.). Boca Raton: CRC Press {in English}.
Wang, Q. C., & Wang, Z. G. (2018). An experimental investigation of the supersonic turbulent boundary layer subjected to convex curvature. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part G: Journal of Aerospace Engineering, 232(6), 1015–1023. doi: 10.1177/0954410017694551 {in English}
do Carmo, M. P. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces (2nd ed.). Mineola: Dover Publications {in English}.
Gray, A., Abbena, E., & Salamon, S. (2006). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (3rd ed.). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC {in English}.
Fuentes, H. E. (1997). Total generalization of the cycloid. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 28(2), 243–247. doi: 10.1080/0020739970280211 {in English}.
Abramowitz, M., & Stegun, I. A. (1983). Handbook of Mathematical Functions. Mineola: Dover Publications {in English}.
Al-Nahhal, I., Dobre, O. A., Basar, E., Moloney, C., & Ikki, S. (2019). A Fast, Accurate, and Separable Method for Fitting a Gaussian Function. IEEE Signal Processing Magazine, 36(6), 157–163. doi: 10.1109/MSP.2019.2927685 {in English}.
Liu, W., & Wang, B. (2019). A modified approximate method based on Gaussian radial basis functions. Engineering Analysis with Boundary Elements, 100, 256–264. doi: 10.1016/j.enganabound.2018.05.012 {in English}.
Аушева, Н., Каленюк, О., & Сидоренко, Ю. (2024). Побудова замкнених гладких кривих інтерполяційним поліномом гауса. Сучасні проблеми моделювання, (26), 21-28. https://doi.org/10.33842/2313125X-2024-26-21-28 {in Ukrainian}
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
