МЕТОД СКІНЧЕНИХ ЕЛЕМЕНТІВ: КОРИСНІ ПРОЦЕДУРИ З ПРОТИПРИРОДНИМИ МОДЕЛЯМИ

Анотація

Головним недоліком стандартних моделей у методі скінченних елементів (МСЕ) є парадокс їхньої фізичної неадекватності. Попри те, що традиційні матричні та нематричні методи Тейлора підтверджують цей парадокс, сучасне програмне забезпечення зі стандартними елементами задовольняє інженерні потреби. У зв'язку з цим актуальним є пошук ефективних математичних методів подолання зазначеного фізичного недоліку та розширення процедур корисного використання стандартних моделей. У роботі представлено фрагмент дослідження та порівняльний аналіз процедур редукції (фізично адекватної та неадекватної), а також методу зваженого усереднення скінченних елементів для усунення їхньої фізичної неадекватності та конструювання нових скінченних елементів із покращеними геометричними й рельєфними властивостями. Використано аналітичні та геометричні методи дослідження функцій форми скінченних елементів, зокрема аналіз ліній нульового рівня («портретів» поверхонь) та рівняння прямих у відрізках. Застосовано процедуру редукції моделей типу Q₁₆→Q₁₂, а також апарат зваженого (арифметичного) усереднення стандартної (фізично неадекватної) моделі з альтернативною (фізично адекватною) моделлю, побудованою чисто геометричним методом. Продемонстровано дві процедури редукції Q₁₆→Q₁₂ та реалізовано алгоритм зваженого усереднення двох моделей. Доведено, що використання суто геометричного підходу спрощує побудову альтернативної моделі з паралельними прямими. На основі аналізу портретів нульового рівня поверхонь показано, що в результаті арифметичного усереднення коло стандартної моделі трансформується в еліпс, який перетинає границі носія у визначених вузлах. Це забезпечує поділ параболоїда обертання на чотири еліптичні параболоїди, що суттєво оптимізує рельєф поверхонь функцій форми. Доведено, що стандартні скінченні елементи є ефективним інструментом не лише для практичних інженерних розрахунків, а й для конструювання нових скінченних елементів. Запропонований комбінований алгебро-геометричний метод (за ідеєю І. О. Астіоненка та О. І. Литвиненка) у стилі «м’якого» математичного моделювання академіка В. І. Арнольда дозволяє синтезувати нові перспективні математичні моделі без ризику їхньої втрати.