Прикладна геометрія та інженерна графіка

КАТЕНАРІЯ ТА ЇЇ ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ В БУДІВНИЦТВІ

Ірина Безклубенко — 2026-02-05

Застосування графіків функцій в архітектурі тісно пов'язане з використанням математичних кривих і поверхонь для створення як
естетично привабливих, так і структурно ефективних форм. Вони є ключовими інструментами в інженерному розрахунку та сучасному
параметричному дизайні. Важливе місце займає алгоритмічний дизайн, де форма об'єкта визначається за допомогою набору правил (алгоритму) та
математичних залежностей між параметрами. Замість прямого моделювання геометрії, дизайнер створює логічну структуру, яка генерує
форму об’єкта, використовуючи математичні функції (лінійні, поліноміальні, тригонометричні, логарифмічні, тощо) для обчислення
значень одного параметра на основі інших. Катеноїди та ланцюгові лінії (або ланцюгові криві) є важливими математичними концепціями, які
знаходять своє застосування, зокрема, в архітектурі та інженерії завдяки їх унікальним властивостям, пов'язаним із мінімізацією енергії та
напружень. Робота присвячена аналізу геометричних та математичних особливостей катенарії (ланцюгової лінії). Розглянуто теоретичні
аспекти та природне і практичне застосування ланцюгової лінії у різних технічних напрямах діяльності. Подано математичний опис катенарії та
досліджено її геометричні та структурні властивості, що дозволяють використання саме такої форми у різних напрямах діяльності, зокрема в
інженерії, будівництві мостів, у стародавній і сучасній вуличній архітектурі. У дослідженні відзначено, що катенарія є ключовою кривою в
інженерії підвісних мостів (звисаюча форма), а перевернута катенарія (ланцюгова арка) – в архітектурі арок та склепінь (як у мостах, так і в
елементах, що можуть бути частиною великих фонтанних комплексів), забезпечуючи оптимальну ефективність використання матеріалу та
конструктивну міцність. Зроблено висновок про можливість поширення сфер застосування катенарії.

СТВОРЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ТЕХНІЧНИХ ОБ’ЄКТІВ В ГРАФІЧНИХ АВТОМАТИЗОВАНИХ СИСТЕМАХ

Григорій Бідніченко — 2026-02-05

У даній статті розглядаються методологічні та практичні аспекти процесу створення геометричних моделей технічних об’єктів в автоматизованих графічних системах. Проаналізовано методи геометричного моделювання, які лежить в основі проектування об’єктів, його можливості та застосування в різних галузях. Показано, що геометричне моделювання є важливим елементом у процесі проектування, яке забезпечує створення точних та деталізованих цифрових моделей об’єктів. У зв’язку з цим програми автоматизованого проектування, такі як AutoCAD і SolidWorks, є головним інструментом при створенні нових та модифікації існуючих об’єктів, вони надають інженерам, архітекторам та дизайнерам можливість для розробки та модифікації 2D- и 3D-моделей. В роботі описано принципи параметричного моделювання, на яких базується формування геометричних тривимірних моделей в автоматизованих системах, розглянуто особливості побудови двовимірних креслеників та звернено увагу на автоматизований спосіб отримання креслярської документації. Проаналізовано переваги та недоліки систем автоматизованого моделювання AutoСAD і SolidWorks. У якості прикладів застосування графічних систем для моделювання технічних об’єктів наведено виконані автором в системах AutoCAD і SolidWorks двовимірні кресленики та тривимірні моделі реальних об’єктів, що використовуються в судно- та машинобудівної галузі і в будівництві. Доведено можливість автоматичного формування двовимірного кресленика із тривимірної моделі деталі та із збірної конструкції. Зроблено висновок, що використання автоматизованих технологій моделювання геометричних моделей технічних об’єктів дозволяє створювати складні та деталізовані моделі, які можна аналізувати, тестувати та оптимізувати раніше, ніж перейти до фізичного виробництва. У сучасних умовах такий підхід є невід’ємною частиною всіх інженерних та дизайнерських процесів.

ГРАФОАНАЛІТИЧНЕ ОБРОБЛЯННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРЮВАННЯ ДЕЯКИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ РОБОЧИХ РІДИН У РОТОРНИХ ПЛІВКОВИХ АПАРАТАХ

Геннадій Вірченко — 2026-02-05

У технологічних виробництвах з видалення компонентів з різних матеріалів, які легко випаровуються, особливе місце займають процеси безперервного термічного обробляння сировини в тонких плівках поточних рідин. Під плівковим перебігом мається на увазі рух тонкого шару рідини вздовж твердої стінки, при якому зовнішня поверхня плівки залишається вільною. У хімічній та харчовій промисловості часто доводиться мати справу з речовинами, які можна обробляти тільки в тонких шарах, зокрема це виробництво окремих видів пластмас та кремнійорганічних продуктів, упарювання харчових продуктів, чутливих до високих температур, нагрівання та концентрування речовин, які можуть пригоряти та полімеризуватися при тривалому контакті з поверхнею нагріву тощо.

Плівкові випарники та дистилятори широко використовуються при виготовленні дріжджів, соків, епоксидних смол, нафтопродуктів і т. п. Особливо добре зарекомендували себе ці апарати для обробляння продуктів, схильних до утворення піни та кристалізації. При нагріванні та випаровуванні хімічних і харчових продуктів у плівкових випарниках унаслідок короткочасного контакту з поверхнею нагріву зберігаються всі хімічні властивості речовини, а у харчових продуктах – вітаміни. Вибір оптимального режиму видалення компонентів, які легко випаровуються, та його апаратного забезпечення безпосередньо пов’язані з оброблюваним продуктом. Найбільш суттєвими факторами процесу концентрування є теплофізичні властивості, такі як кінематична в'язкість, питома теплоємність, густина. Тому саме ці показники використовують в оцінці технологічної ефективності.

Відомо, що головну перевагу графічних моделей становить наочність, а аналітичних – точність. Їхнє поєднання забезпечує відповідний інтегральний ефект. Прогресивним напрямком є реалізація зазначеного підходу у вигляді належних сучасних комп’ютерних засобів. Ефективне обробляння результатів експериментів дозволяє не тільки перевіряти на практиці напрацьовані наукові положення, а й необхідним чином визначати подальший розвиток теоретичних знань. У даній статті подано застосування графоаналітичного комп’ютерного моделювання при дослідженні теплофізичних властивостей оброблюваних продуктів із концентруванням у роторних плівкових апаратах.

СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧНЕ АРХІТЕКТУРНЕ ФОРМОУТВОРЕННЯ МЕТАЛЕВИХ КУПОЛІВ ПРАВОСЛАВНИХ КАПЛИЦЬ

Геннадій Вірченко — 2026-02-05

Нинішній етап розвитку України характеризується складними обставинами, що пов’язані з тривалими воєнними діями на її території. Це спричиняє значні руйнування міст і сіл, загибель та каліцтва багатьох людей. У такі скрутні часи все чисельнішими стають звертання за допомогою до всевишніх сил. Через обмежені фінансові спроможності наших громадян, серед яких більшість православні християни, зведення нових храмів тепер є проблематичним. В окреслених умовах достатньо поширене спорудження каплиць, тобто невеликих молитовних приміщень без вівтаря. Зазначені об’єкти зазвичай розташовуються в місцях визначних подій і паломництва, розміщення майбутніх храмів, на в’їзді до населених пунктів, біля цілющих джерел, у лікарнях, військових частинах, громадських, освітніх та виправних закладах, на кладовищах і т.інш.

Для християнських релігійних будівель, з одного боку, існують певні канонічні вимоги стосовно їхньої архітектури, яких необхідно суворо дотримуватися, а з іншого, бажано щоб кожна з них мала свою яскраву індивідуальність. Успішному вирішенню акцентованого протиріччя суттєво сприяє широке застосування варіантного формоутворення вказаних об’єктів. Головну сакральну складову православних каплиць становлять куполи, що уособлюють собою небесну святість. Зараз популярним конструкційним матеріалом для їх виготовлення є метал завдяки своїм високим технологічним, експлуатаційним та економічним властивостям. Тому, як предмет для опрацювання в даній науковій статті, обрано саме такий різновид християнських куполів. Зауважимо, що при цьому основна мета виконуваного формоутворення полягає в забезпеченні потрібних базових геометричних параметрів і характеристик, а також належного естетичного сприйняття проєктованих куполів православних каплиць.

Такі важливі питання, як технологія виготовлення, розрахунки на міцність, особливості експлуатації, економічні показники тощо, можуть визначати завдання для подальших відповідних розвідок. Використовувана методологія комп’ютерного структурно-параметричного геометричного моделювання дозволяє ефективно здійснювати відповідну комплексну оптимізацію.

УПРАВЛІННЯ ФОРМОЮ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ ІНТЕРПОЛЯНТІВ КОЕФІЦІЄНТАМИ СУПЕРПОЗИЦІЇ

Олег Воронцов — 2026-02-05

У роботі запропоновано узагальнений метод дискретного моделювання одновимірних дискретних геометричних образів (ДГО), у межах якого керування формою дискретно представленої кривої (ДПК) здійснюється не лише через функцію розподілу величини кінцевої різниці між суміжними вузлами каркасної сітки, але й за допомогою функції розподілу коефіцієнтів суперпозиції. Такий підхід розширює клас засобів впливу на геометричні характеристики модельованої кривої у дискретному просторі.

Установлено закономірності зміни значень коефіцієнтів суперпозиції та величини кінцевої різниці, яка в межах статико-геометричного методу моделювання інтерпретується як функціональний аналог навантаження під час формування одновимірних точкових множин. Запропонований підхід забезпечує ефективне розв’язання задач суцільної дискретної інтерполяції та екстраполяції числових послідовностей для довільних одновимірних функціональних залежностей, що визначаються двома вибраними опорними вузловими точками.

Основною метою дослідження є подальший розвиток теоретичних засад побудови дискретних аналогів криволінійних об’єктів на основі класичного апарату кінцевих різниць, статико-геометричного методу моделювання та геометричного апарату суперпозицій.

У межах дослідження виконано аналіз процесу формування дискретних одновимірних геометричних образів на прикладі поліноміальних функціональних залежностей за наперед заданих значень коефіцієнтів суперпозиції. Виявлено характерні закономірності варіації коефіцієнтів суперпозиції між суміжними вузловими точками поліноміальної функції, а також зміну величини кінцевої різниці, що подано у вигляді графічних залежностей числових послідовностей для вибраної розрахункової конфігурації.

Установлено функціональні залежності величини кінцевої різниці як від ординат модельованої кривої, так і від значень коефіцієнтів суперпозиції між суміжними вузловими точками.

Отримані результати створюють підґрунтя для формування одновимірних геометричних образів у межах заданої розрахункової схеми на основі відомих ординат двох опорних вузлових точок, значень коефіцієнтів суперпозиції та відповідних величин кінцевих різниць.

Таким чином, запропоноване дослідження формує універсальний підхід до встановлення закономірностей зміни коефіцієнтів суперпозиції та кінцевих різниць у межах заданих розрахункових схем, що дозволяє визначати ординати точок довільних одновимірних функціональних залежностей і дискретних точкових множин.

ДО ПИТАННЯ ФОРМУВАННЯ ПРОФЕСІЙНИХ КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ ЗДОБУВАЧІВ ВИЩОЇ ОСВІТИ В КУРСІ «КОМП’ЮТЕРНА ІНЖЕНЕРНА ГРАФІКА»

Тетяна Гнітецька — 2026-02-05

Використання сучасних інформаційних технологій, елементів дистанційної та змішаної систем навчання є актуальною задачею при організації навчального процесу у закладах вищої освіти. Стратегічним напрямком сучасної педагогіки є надання здобувачеві вищої освіти можливості рухатися за власною освітньою траєкторією. При вирішенні цієї задачі важливим компонентом організації навчального процесу можуть стати якісні структуровані дистанційні курси дисциплін. Використання розроблених із застосуванням сучасних інформаційних технологій курсів сприяє удосконаленню структурно-логічної моделі формування у здобувачів вищої освіти професійних компетентностей. На ранніх стадіях навчання у вищих технічних навчальних закладах позитивні результати можуть бути досягнуті при формуванні компетентностей користування сучасними САПР, а саме оволодіння комп’ютерною графікою, 3D-моделюванням, оформлення конструкторської документації із застосуванням вимог нової системи стандартизації, тощо. У статті подаються основні елементи методики навчання застосованої при вивченні курсу «Комп’ютерна інженерна графіка» на одному з факультетів НТУУ «КПІ» імені Ігоря Сікорського протягом семи років. Методика використовується при змішаній формі навчання і її основою є використання дистанційного курсу, що розміщений на навчальній платформі «Сікорського» НТУУ «КПІ» імені Ігоря Сікорського. Основними компонентами дистанційного курсу є відеолекції, у яких розкривається теоретичний матеріал кожної з тем та надаються алгоритми покрокового виконання завдань. Забезпечення вільного доступу здобувачам вищої освіти до матеріалів дистанційного курсу у будь який час при організації власної пізнавальної діяльності та опосередковане керівництво нею викладачем сприяє отриманню хороших результатів при оволодінню курсом. Іншою складовою методики навчання інженерно графічним дисциплінам є забезпечення суттєвого і швидкого оновлення довідкових матеріалів. Ця проблема є надзвичайно актуальною саме у даний час у зв’язку з гармонізацією системи стандартів, що є чинними на території України, зі світовою і Європейською системами стандартизації. Ці зміни необхідно оперативно відображати у навчальних довідкових матеріалах. Структура побудованого дистанційного курсу є доступною для швидкого внесення таких змін на відміну від написання посібників, підручників і оформлення іншої навчальної документації, що потребує певного часу для запровадження у навчальний процес. Перевагами змішаної форми навчання є забезпечення зворотного зв’язку безпосередньо з викладачем у формі регулярних консультацій у ZOOM-конференціях чи окремих заняттях в аудиторіях. Отримані результати розробленої та апробованої методики викладання курсу інженерно графічної дисципліни дозволяють зробити висновок про реальну можливість формування у здобувачів вищої освіти компетентностей необхідних для виконання навчальних і професійних задач. Пропонуються рішення для створення комплексу методичних матеріалів на основі дистанційних курсів, які можна масштабувати на інші курси споріднених дисциплін. У статті показано застосування розробленої методики на прикладі окремої теми курсу «З’єднання нероз’ємні» та наводиться приклад оформлення кресленика складальної одиниці із застосуванням зварювання, пайки і склеювання за оновленими стандартами.

БАГАТОКРИТЕІАЛЬНА ПАРАМЕТРИЧНА ОПТИМІЗАЦІЯ СТІЙКОСТІ ОБОЛОНКИ МІНІМАЛЬНОЇ ПОВЕРХНІ НА КВАДРАТНОМУ ПЛАНІ ПРИ ТЕРМОСИЛОВОМУ НАВАНТАЖЕННІ З УРАХУВАННЯМ ГЕОМЕТРИЧНОЇ НЕЛІНІЙНОСТІ

Олександр Кошевий — 2026-02-05

Оптимальне проєктування стійкості просторових конструкцій практично не вивчено в будівельній та прикладній механіки. Втрата стійкості оболонки характеризується за допомогою коефіцієнта λ та формами втрати стійкості, як правило, перша форма втрата стійкості є основною.

Із наукового напрямку оптимального проєктування відомо, що дослідження відбувається найчастіше при цільових функціях: вага, об’єм, напруження, вартість конструкції. Оптимальне проєктування стійкості просторових конструкцій є новим напрямком в зворотних задачах будівельної та прикладної механіки.

Поєднання задачі оптимізації ваги просторової конструкції та стійкості є досить цікавим з точки зору будівельних конструкцій.

Тип задач про оптимальне проєктування стійкості раніше не міг бути розвинутий, тільки в кінці ХХ століття з появою потужної комп’ютерної техніки, яка може вирішувати великі системи рівнянь призвела до можливості робити чисельні екскременти в будівельній механіки, які в свою чергу розкрили цей новий перспективний вид задач.

Навантаження можна використовувати різне: статичне, температурне, сейсмічне, динамічне, ударне, електромагнітне та інші. В даній науковій статті використовується термосилове навантаження, яке в себе вміщає комбінацію статичних впливів та температурне навантаження.

Важливим елементом є геометрична нелінійність. З геометричною нелінійностю тісно пов’язана проблема стійкості будівельних конструкцій в цілому. Тіло, яке деформується знаходиться в стійкому стані рівноваги, якщо відбувається мала зміна конфігурації геометрії.

У статі розкриті теоретичні відомості розрахунку стійкості тонких оболонок з урахуванням геометричної нелінійності.

Результати дослідження багатокритеріальної параметричної оптимізації стійкості оболонки мінімальної поверхні на квадратному контурі з урахуванням геометричної нелінійності. Вдалося виконати зменшення цільової функції ваги оболонки мінімальної поверхні при цьому коефіцієнт λ=1, що відповідає мінімальному параметру стійкості.

У подальшому є можливість аналізувати результати оптимізації оболонки мінімальної поверхні на квадратному плані при різних цільових функціях та обрати по якому типу оптимізації проектувати конструкції згідно будівельних норма України.

МОДЕЛЮВАННЯ ТРАНСМІСІЙНИХ ВИТРАТ З ВИКОРИСТАННЯМ ВАГОВИХ КОЕФІЦІЄНТІВ ПРИ ОПТИМІЗАЦІЇ ПРОПОРЦІЙ ЗЕЛЕНИХ БУДІВЕЛЬ

Вячеслав Мартинов — 2026-02-05

Підвищення енергоефективності зелених будівель є критично важливим у сучасних умовах зростання енерговитрат та зміни клімату. Зважаючи на те, що будівельний сектор споживає значну частку світових ресурсів, оптимізація енергоспоживання дозволяє не лише знизити експлуатаційні витрати, а й зменшити вуглецевий слід. Впровадження інноваційних рішень у проєктуванні та будівництві стає ключовим фактором для досягнення сталого розвитку міст.

Особливу вагу дослідження набувають у контексті зростаючих вимог до екологічності будівель та державних ініціатив щодо енергозбереження. Розробка нових методів аналізу та оптимізації енергоефективності дозволить архітекторам, інженерам та девелоперам створювати об’єкти, які поєднують економічну доцільність із екологічною відповідальністю.

На основі проведених досліджень були отримані аналітичні залежності та розроблені довідкові матеріали для розрахунку вагових коефіцієнтів К₁₁₃ зміни трансмісійних витрат при зміні пропорцій будівель гранної форми. У розрахунках враховано: площу огороджувальних конструкцій, параметри форми будівлі, співвідношення світлопрозорих та непрозорих елементів, а також теплотехнічні характеристики кожної конструкції. Отримані результати відкривають нові можливості для оптимізації проєктування зелених будівель з метою досягнення високого рівня енергоефективності.

Розроблено математичну модель для визначення оптимальних пропорцій та коефіцієнта К₁₁₃з метою зменшення трансмісійний витрат будівлі.

МОДЕЛЮВАННЯ РАЦІОНАЛЬНОГО ОПОРУ ТЕПЛОПЕРЕДАЧІ НЕПРОЗОРИХ КОНСТРУКЦІЙ ЗЕЛЕНИХ БУДІВЕЛЬ

Вячеслав Мартинов — 2026-02-05

Актуальність проєктування та термомодернізації зелених будівель з оптимізацією опору теплопередачі їх теплоізоляційної оболонки прямо випливає з необхідності комплексного вирішення енергетичних, економічних та екологічних завдань. У сучасних умовах, коли енергоефективність стає основою енергетичної незалежності та сталого розвитку, науково обґрунтоване визначення раціональних параметрів опору теплопередачі (R_сті) зовнішніх конструкцій (стін, покриттів, перекриттів) є ключовим інженерним завданням. Воно полягає не у формальному дотриманні нормативів, а у пошуку техніко-економічного оптимуму, що забезпечує заданий високий рівень теплового захисту при мінімальних сумарних витратах. Така оптимізація безпосередньо впливає на зниження експлуатаційних витрат, підвищення комфорту, довговічності будівлі та мінімізацію її вуглецевого сліду, що робить її фундаментом для створення справді ефективних, екологічно відповідальних і економічно вигідних об’єктів.

У статті розроблено аналітичний спосіб визначення раціональних параметрів опору теплопередачі огороджувальних конструкцій при заданому рівні тепловтрат ΔQ_Б через огороджувальні конструкції з урахуванням надходження сонячної радіації для зелених будівель.

Наразі оптимізуються декілька геометричних параметрів опору теплопередачі огороджувальних конструкцій протягом опалювального періоду. Для цього складається математична модель теплового балансу ΔQ_грі кожної грані будівлі яка враховує опір теплопередачі (R_стрі) непрозорих конструкцій, геометричні параметри орієнтації для фасадів будівлі (А_ві, ω_ві) рівень надходження сонячної радіації та ін. Розроблено програму та графічний спосіб визначення раціональних параметрів опору теплопередачі огороджувальних конструкцій будинку.

СФЕРИЧНИЙ АНАЛОГ КОНХОЇДИ НІКОМЕДА

Андрій Несвідомін — 2026-02-05

Між фігурами на площині і їх сферичними аналогами існує суттєва відмінність. Це можна продемонструвати на властивостях плоских і сферичних трикутників. Якщо для плоских трикутників сума внутрішніх кутів дорівнює 180°, то для сферичних трикутників це правило не діє. Однак за правилами побудови кривих на площині, зв’язаних із вимірюванням відрізків, можна будувати сферичні аналоги, у яких ці відрізки є довжинами дуг великого кола. Якщо ці дуги розташовані на сфері одиничного радіуса, то їх довжини чисельно дорівнюють центральним кутам, сторонами яких є промені, що сполучають центр сфери із кінцями дуг. Наприклад, існує сферичний аналог еліпса, який задається на сфері двома фіксованими точками, сума відстаней від який до еліпса є величиною сталою. Деякі аналоги плоских кривих можна отримати на основі кочення циліндричних поверхонь на площині, що для сферичного аналогу відповідає коченню конусів по своїх розгортках.

Однак, не дивлячись на відмінність фігур на площині і просторових на сфері, у них є певні спільні риси. Як плоскі фігури можуть ковзати всіма своїми точками у площині, так і сферичні фігури можуть аналогічно ковзати по її поверхні. Деякі співвідношення між сторонами і кутами для плоских фігур справедливі і для сферичних. Наприклад, існує сферичний аналог теореми Піфагора, який базується на аналогічних співвідношеннях катетів і гіпотенузи як для плоского, так і для сферичного прямокутного трикутників. Перерізом сфери площиною є коло. Взявши на ньому три точки, можна побудувати сферичний трикутник із вершинами у цих точках. Відповідно, для кожного сферичного трикутника існує коло, яке проходить через його вершини аналогічно для трикутника у площині. Якщо вершини трикутника взяти на великому колі, то на площині це відповідає вершинам на прямій лінії. Це узгоджується із положенням про те, що аналогом прямої лінії на площині є велике коло на сфері.

У статті розглянуто сферичний аналог конхоїди Нікомеда, побудова якої базується на відкладанні відрізків однакової довжини в обидві сторони від прямої, аналогом якої на сфері є велике коло. Ці відрізки відкладаються на променях, які ідуть у точку на заданій відстані від великого кола. Отримано аналітичні залежності, здійснено візуалізацію отриманих результатів.

ВИЗНАЧЕННЯ НЕОБХІДНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВОДЯНОГО СТРУМЕНЯ ФОНТАНУ ДЛЯ ОТРИМАННЯ БАЖАННОЇ ТРАЄКТОРІЇ ПРИ ВПЛИВІ ОПОРУ ПОВІТРЯ

Алла Перпері — 2026-02-05

У статті розглянуто теоретичні дослідження, яке присвячене проблемі впливу зовнішніх природних факторів на загальний вигляд фонтанів та науково-практична задача по визначенню необхідних характеристик водяного струменя фонтану з урахуванням впливу опору повітря на його траєкторію. Показано, що класичні моделі руху рідини у полі тяжіння не забезпечують достатньої точності, оскільки не враховують зміну форми струменя, турбулентні втрати та аеродинамічні сили, що суттєво впливають на дальність та висоту підйому води. Метою дослідження є розроблення методики визначення початкової швидкості, кута викиду та геометрії сопла, які дозволяють отримати задану просторову траєкторію струменя під дією опору повітря, але при ламінарному русі для спрощення розрахунків.

У роботі застосовано математичну модель руху суцільного водяного струменя, що базується на рівнях гідродинаміки та спрощених виразах для сили аеродинамічного опору, який залежить від швидкості, щільності повітря та ефективного поперечного перерізу струменя. Для уточнення параметрів використано чисельне моделювання методом по крокової апроксимації, що забезпечує можливість оцінки несталих режимів та варіації погодних умов. Розроблений алгоритм дозволяє визначити комбінації тиску подачі водяного струменя фонтану для досягнення бажаного водного малюнка.

Отримані результати можуть бути застосовані при проектуванні декоративних фонтанів, інтерактивних гідродинамічних інсталяцій та міських водних комплексів, де важливо забезпечити стабільність та повторюваність траєкторії струменя. Запропонована методика підвищує точність налаштування фонтанних систем, зменшує витрати води та енергії та сприяє оптимізації художньо-технічних рішень у міському середовищі.

ПОРІВНЯЛЬНИЙ АНАЛІЗ СПОСОБІВ ГРАФІЧНОГО ПРЕДСТАВЛЕННЯ СКЛАДОВИХ КОМФОРТУ

Віталій Плоский — 2026-02-05

У статті здійснено комплексний аналіз методів графічної візуалізації складових комфорту в архітектурному середовищі з позицій прикладної геометрії. Показано, що графіка виступає не лише засобом ілюстрації, а й універсальним інструментом системного аналізу, комунікації та креативного проєктування. Спираючись на класифікацію за функціями графіки, запропоновану в наукових працях (зокрема, В. Плоского), у дослідженні здійснено її адаптацію до проблематики архітектурного середовища та комфорту. На цій основі виділено три групи методів — зображувальні, активні та креативні, які виконують різні ролі у процесі аналізу й проєктування.

Зображувальні методи (планувальні схеми, картосхеми, діаграми Венна, органограми, піктографіка) фіксують стан системи «як вона є» та наочно демонструють просторову структуру і взаємозв’язки між її елементами. Активні методи (номограми, матриці відповідності, теплові карти, радарні діаграми, діаграми Ішікави, дерева рішень) дають змогу простежити динаміку змін, виявити взаємозалежності параметрів та визначити інтегральні індекси комфорту. Креативні методи (діаграми Санкей, морфологічні карти, мапи сценаріїв, патернові карти, гібридні підходи) орієнтовані на генерацію нових рішень і сценаріїв, відкриваючи простір для інноваційного мислення в архітектурному проєктуванні.

Особливу увагу приділено перспективам розвитку мега-гібридних інтерактивних номограм, які поєднують багатовимірні шкали з можливістю сценарного моделювання. На відміну від класичних, такі номограми відображають не лише окремі параметри, а й їхню взаємозалежність (температура, вологість, світло, шум, якість повітря, приватність, комунікація, естетика тощо), автоматично формуючи точку загального комфорту у відсотковому вираженні. У поєднанні з інтерактивними панелями візуалізації вони стають ефективним інструментом адаптивного проєктування середовищ, здатних гнучко реагувати на різні потреби користувачів.

На основі проведеного аналізу зроблено висновок, що саме розвиток гібридних і динамічних методів візуалізації, зокрема мега-гібридних інтерактивних номограм, є перспективним напрямом подальших наукових досліджень у сфері архітектури та прикладної геометрії. Запропонований підхід відкриває нові можливості для інтеграції багатовимірних даних, їх інтерпретації та практичного використання у створенні комфортного середовища, яке одночасно відповідає фізичним, психологічним, соціальним та емоційним вимогам людини.

ГЕОМЕТРИЧНІ ОСНОВИ ПОБУДОВИ МОДЕЛІ ОПОРНО РУХОВОГО АПАРАТУ ЛЮДИНИ НА ОСНОВІ УЯВЛЕННЯ ПРО РОБОТУ БІОТЕНСЕГРІТІ

Ольга Кучерява — 2026-02-05

Актуальність досліджень, присвячених геометричному моделюванню опорно-рухового апарату людини, зумовлена необхідністю формалізованого опису його просторової структури та механічної поведінки з метою подальшого використання у біомеханіці, фізичній терапії та інженерних застосуваннях. Складність анатомічної будови кістково-м’язової системи та взаємодії її елементів потребує використання узагальнених моделей, здатних відобразити основні закономірності передавання навантажень без надмірного ускладнення математичного апарату.

У роботі розглянуто геометричні основи інтерпретаційного моделювання опорно-рухового апарату людини на базі концепції біотенсегріті. Запропоновано підхід до подання елементів кістково-м’язової системи у вигляді дискретних стрижневих моделей з шарнірними з’єднаннями, що дозволяє зосередити аналіз на осьових зусиллях та забезпечити геометричну незмінюваність конструкцій. Розглянуто умови статичної визначуваності таких систем та особливості їх геометричної інтерпретації у площинному та просторовому випадках.

Виконано аналіз взаємозв’язку між кількістю вузлів і стрижнів у моделях, що забезпечують механічну стабільність та можливість адекватного відтворення передачі навантажень у межах пружної деформації. Показано, що використання методів прикладної геометрії та будівельної механіки дозволяє сформувати узагальнену модель опорно-рухового апарату як геометрично інваріантної системи, придатної для подальших чисельних і прикладних досліджень.

Отримані результати формують геометричне та інженерне підґрунтя для розроблення уточнених біотенсегріті-моделей елементів опорно-рухового апарату людини та забезпечують можливість кількісного аналізу навантажень у його структурних компонентах. Інтерпретація результатів такого аналізу дає змогу визначити базові принципи використання даних моделювання при формуванні реабілітаційних методик і засобів фізичної терапії.

СТАТИЧНА РІВНОВАГА ВУЗЛІВ БІОТЕНСЕГРІТІ-МОДЕЛІ ОПОРНО-РУХОВОГО АПАРАТУ ЛЮДИНИ

Ольга Кучерява — 2026-02-05

Робота присвячена дослідженню математичних умов статичної рівноваги вузлів дискретно представленої інтерпретаційної біотенсегріті-моделі опорно-рухового апарату (ОРА) людини. Актуальність даної тематики обумовлена необхідністю формалізованого математичного опису спільної роботи кісток, м’язів та сухожилків, що входять до складу нижньої частини людського тіла, як механічної системи, що перебуває під дією заданих вагових навантажень. Відповідний опис дозволяє побудувати модель, яка у свою чергу дає змогу шляхом дискретного геометричного моделювання визначати внутрішні зусилля у всіх її ланках. Саму модель побудовано на основі уявлення про геометрично інваріантні сітчасті структури, кожна ланка яких у механічній інтерпретації працює виключно на стиск або розтяг, унеможливлюючи виникнення згинальних або крутних моментів за рахунок шарнірного сполучення відповідних ланок. Водночас, модель має властивості просторових тенсегріті структур, які передбачають, що усі стиснуті ланки представляють собою стрижні, а усі розтягнуті ланки – троси. Будучи застосованим до біомеханічних задач, такий підхід описує роботу так званих біотенсегріті-моделей ОРА. Дана робота є логічним продовженням дослідження основ формування геометрично незмінюваних сітчастих структур шляхом їх поетапного кінематичного аналізу.

На основі уявлення про зрівноважені сітчасті структури було побудовано систему рівнянь статичної рівноваги для вільних вузлів просторових біотенсегріті-моделей, що дозволяє визначити взаємодію стискальних і розтягувальних елементів у межах їх пружної деформації під дією прикладених вузлових навантажень. Розглянуто особливості побудови відповідних рівнянь для дискретних систем із попередньо-напруженими ланками.

Продемонстровано, що застосування методів прикладної геометрії із урахуванням принципів роботи класичних механічних систем забезпечує коректну математичну інтерпретацію роботи ОРА людини. Отримані результати створюють основу для подальших чисельних досліджень, зокрема для моделювання та аналізу компонентів напружено-деформованого стану елементів інтерпретаційної моделі, її поетапної оптимізації та застосування у задачах біомеханіки, терапії й реабілітації.