АНАЛОГ ФОРМУЛ ФРЕНЕ ДЛЯ ТРИГРАННИКА ДАРБУ КРИВОЇ НА ПОВЕРХНІ

Анотація

Тригранники Френе і Дарбу є супровідними для напрямної кривої. Положення тригранника Френе на кривій однозначно визначається через її перші і другі похідні. Тригранник Дарбу є супровідним для кривої на поверхні. Обидва тригранники рухаються по кривій так, що один із ортів є дотичним до кривої. Якщо у тригранника Френе одна із граней є стичною площиною кривої, то у тригранника Дарбу відповідна грань є дотичною до поверхні, тобто між цими гранями тригранників існує певний кут, який може змінюватися при їх русі по кривій. Відповідно цей кут попарно існує між двома іншими ортами тригранників. Якщо поверхнею є площина, то цей кут дорівнює нулю і обидва тригранники збігаються.

Положення тригранника Френе визначається параметричними рівняннями кривої, а положення тригранника Дарбу – параметричними рівняннями поверхні і кривої на ній. Крива може бути задана у функції довільного параметра. На поверхні криву можна отримати, встановивши певну залежність між незалежними змінними поверхні. Якщо крива на поверхні задана не у функції довільного параметра, а у функції натурального параметра, тобто у функції довжини власної дуги, то в такому випадку справедливі формули Френе, які відіграють дуже важливу роль в диференціальній геометрії. В цьому випадку рух тригранника Дарбу теж залежатиме від натурального параметра. При русі тригранників відбувається їх поворот навколо ортів дотичних, які збігаються, і утворюється попарно кут між іншими ортами, величина якого залежить від довжини дуги кривої, тобто значення кута є функцією натурального параметра.

В роботі використано залежність кута у функції натурального параметра між тригранниками для одержання формул для тригранника Дарбу, які є аналогом формул Френе для тригранника Френе. Для цього використана кінематика обох тригранників при їх русі по кривій. Цей рух можна розкласти на поступальний в напрямі дотичної до кривої і обертальний навколо осі миттєвого обертання. Поступальний рух вздовж спільних ортів дотичної є однаковим для обох тригранників, але відрізняється обертальним рухом навколо їх. На основі математичного опису цих рухів в статті отримано формули для тригранника Дарбу, які є аналогом формул Френе для однойменного тригранника.