ЗНАМЕНИТІ ЗАДАЧІ ДАВНИНИ. ПИТАННЯ РОЗВ’ЯЗУВАНОСТІ ЗАДАЧ НА ПОБУДОВУ ЗА ДОПОМОГОЮ ЦИРКУЛЯ ТА ЛІНІЙКИ

Анотація

В роботі розглянуто та проаналізовано історичний аспект постановки і розвитку проблеми вирішення відомих задач древності: квадратури круга, кругатури квадрата, подвоєння куба, трисекції кута та ділення кола на рівні частини (побудова правильних багатокутників). Складність проблеми була закладена у самій вихідній умові: вирішити задачу виключно за допомогою циркуля та немаркованої лінійки. В класичному розумінні термін “побудова з використанням тільки лінійки” означає, що лінійку застосовують виключно для проведення прямих і вона не має одиниць виміру. Сутність вирішення основної задачі теорії побудов циркулем та лінійкою, полягає в точному описі графічних побудов, які можливо виконати та в описі алгоритму, який дає можливість розв’язати будь-яку конкретну задачу або дізнатись, що ця задача невирішувана. В статті розглянуто умови цих відомих задач та методи їхнього вирішення від давніх часів до сьогодення. Так, перша задача: квадратура круга, сутність якої полягає в знаходженні алгоритму побудови за допомогою циркуля і лінійки квадрата, рівновеликого за площею площі заданого круга. Зворотна їй задача 2: кругатура квадрата – побудова круга, площа якого б дорівнювала площі даного квадрата (антиквадратура) та задача 3: подвоєння куба – побудова куба з об’ємом вдвічі більшим від вихідного куба. На основі аналізу існуючих методів та алгоритмів розв’язання вищевказаних задач, запропоновано дієві геометричні алгоритми графічних побудов, суто циркулем та лінійкою, які супроводжуються аналітичними розрахунками величин можливих похибок геометричних побудов.

Розв’язок цих задач базується на застосуванні ключових способів геометричних перетворень, зокрема ‑ чотирикутному ключі пропорційності, який повною мірою розкриває універсальні можливості застосування ключових способів геометричних перетворень та розширює діапазон задач, які можна вирішувати з мінімальною похибкою та лаконічними побудовами, застосовуючи ці ключові способи перетворень.