ЗАДАЧА КОШІ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ СТОХАСТИЧНИХ РІВНЯНЬ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ

Анотація

У роботі розглядається стохастичне диференціальне рівняння з частинними похідними. Визначаються умови, при яких задача Коші має єдиний розв’язок. Такого типу рівняння є математичними моделями для процесів, скажімо, теплопровідності і дифузії, які протікають в випадково неоднорідному середовищі, або при наявності зовнішніх випадкових флуктуацій, що впливають на процес. Розглядається стохастична модель у формі рівняння Іто. Незбурена частина є рівняння в частинних похідних в операторному вигляді. Знесення в рівнянні складається з двох частин -необмеженого замкненого оператора , який є диференціальним оператором і обмеженої функції , що задовольняє стандартним умовам. Рівняння такого типу виходить за рамки класичної теорії диференціальних рівнянь. Тому розв’язок виражається через еволюційний оператор і інтегральну частину, що враховує випадкове збурення, як неоднорідність. При цьому  є сильно неперервний еволюційний оператор, що породжується задачею Коші для незбуреного рівняння. Існування розв’язку такого операторно-стохастичного рівняння досліджується методом, який є ймовірнісним аналогом метода, відомого в теорії еволюційних рівнянь як метод мультиплікативних представлень Далецького-Троттера: .  – сильно неперервний стохастичний оператор, що породжується розв’язком стохастичним рівнянням, що описує випадкове збурення в формі Іто. Це дає змогу  дослідити новий клас  стохастичних рівнянь, а також клас сильних операторних стохастичних  сімей в гільбертовому просторі. Це можливо при виконанні певних додаткових умов на еволюційний оператор , що породжувався замкненим необмеженим оператором. Ці умови були сформульовані в термінах властивостей відповідної резольвенти необмеженого оператора знесення. Розв’язок розглядається, як границя мультиплікативного представлення еволюційних сімей операторів відповідно для детермінованої і випадкової частини. Визначаються умови, при яких це мультиплікативне представлення буде єдиним розв’язком стохастичного диференціального рівняння Постановка цієї задачі стала можливою при використанні апарату напівгруп. Для доведення існування єдиного розв’язку було застосовано стохастичний аналог метода Хольмгрена, відомого в теорії напівгруп.