КОНСТРУЮВАННЯ ДУГИ ПЕРЕХІДНОЇ КРИВОЇ ІЗ ЗАДАНИМИ КРИВИНАМИ НА ЇЇ КІНЦЯХ

Анотація

В інженерній практиці конструювання кривих ліній заданої конфігурації широко використовуються сплайни. Зазвичай такі криві є складеними із дуг алгебраїчних поліномів за першим порядком гладкості. В точках з’єднання дуг дотична спільна, а кривина має різне значення. Для деяких задач така складена крива є прийнятною. Відомий приклад – побудова овалів в аксонометричних проекціях заміть еліпсів. Однак є задачі, де спільної дотичної в точці з’єднання дуг недостатньо, а потрібна ще і рівність кривин, тобто з’єднання дуг повинне відбуватися за другим порядком гладкості. Для цього випадку прикладом служить перехідна крива залізничних колій. При переході від прямолінійної ділянки колії до криволінійної в точці їх з’єднання перший порядок неприпустимий. Справа в тому, що на прямолінійному відрізку на рухомий об’єкт не діє відцентрова сила, яка діє на криволінійному відрізку прямо пропорціонально його кривині. Раптовий перехід від нульової кривини в точці з’єднання до певного її значення (що можливо при переході від відрізка прямої до дуги кола) викликає динамічний удар. Це призводить до дискомфорту пасажирів і підвищеного зносу рейок і коліс.

Закономірність зміни кривини від початкової до кінцевої величини можна задати натуральним рівнянням. При цьому вихідними умовами мають бути значення кривин на початку і в кінці дуги кривої. Але цього недостатньо. Щоб кривина змінювалася плавно, потрібно забезпечити в цих точках дотичні до графіку кривини, які мають бути паралельними осі абсцис. Це означає рівність нулю похідної натурального рівняння в цих точках. Таким чином знаходження натурального рівняння перехідної кривої зводиться до виконання чотирьох умов у початковій і кінцевій точках дуги перехідної кривої. Забезпечення цих умов можна виконати за допомогою кубічного полінома.

У результаті розв’язку системи чотирьох рівнянь знайдено коефіцієнти кубічного полінома після чого натуральне рівняння стає визначеним. Побудова самої кривої здійснюється за відомими формулами переходу від параметричного до натуральних рівнянь із застосуванням чисельних методів. Наведено приклади із побудови перехідних кривих для заданих вихідних параметрів.