Застосування кола при геометричному моделюванні плоских обводів

Анотація

При геометричному моделюванню обводів в більшості випадків зручно використовувати рівняння кривих, записаних в параметричному виді. При цьому при моделюванні плоских обводів першого порядку гладкості можуть бути застосованими дуги кіл. В статті запропоновано спосіб визначення параметричного рівняння кола (дуги кола) для двох способів його завдання: завдання кола трьома точками, а також завдання кола двома точками і дотичною в одній з них. Визначення параметричних рівнянь кіл в обох випадках проводилося з використанням проективної системи координат.

 В першому випадку  на класичне параметричне рівняння кривої другого порядку в проективній системі координат для визначення невідомих коефіцієнтів рівняння накладалися умови належності трьох заданих точок цій кривій, причому задані точки приймалися за 3 базисні точки проективної системи. Проведення отриманої кривої другого порядку через циклічні точки дозволило визначити всі невідомі коефіцієнти рівняння і, таким чином, визначити шукане параметричне рівняння кола спочатку в проективній системі координат.

В другому випадку для спрощення була обрана місцева система афінних координат, в якій дві задані точки були розташовані на осі Ох симетрично відносно осі Оу, а точка на дотичній – на осі Оу. Ці 3 точки було прийнято за 3 базисні точки проективної системи координат, а четверта точка проективної системи координат – одинична точка – була визначена в афінній системі, як точка, що належить цьому колу. Класичне рівняння кривої другого порядку в проективній системі координат, яка проходить через 3 базисні точки проективної системи і дотична в двох з них до координатних прямих при умові, що одинична точка належить колу, є рівнянням шуканого кола.

Після визначення обох шуканих рівнянь в проективній системі координат, за допомогою формул переводу з проективної системи в афінну, визначаються шукані параметричні рівняння кіл в афінній системі.