ПОБУДОВА ЯВНИХ МЕТОДІВ РУНГЕ-КУТТИ ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ З ЗАПІЗНЮВАННЯМ

Анотація

Розглядається система диференціальних рівнянь із запізнюванням, що є математичною моделлю багатьох технічних процесів з запізнюванням у часі. Часто для моделювання таких систем використовують чисельні методи Рунге-Кутти і метод розкладання в ряд Тейлора по запізнюванню.

При величині запізнювання більшого, ніж крок чисельного інтегрування, чисельний розв’язок даних систем диференціальних рівнянь не викликає складності. Для цього використовують інтерполяцію передісторіі моделі і чисельні методи для звичайних систем диференційних рівнянь. Наприклад, явні методи Рунге-Кутти. Застосовуючи метод кроків, отримують чисельний розв’язок на необхідний проміжок часу. Але, якщо проміжок часу досить великий у порівнянні з запізнюванням, то число кроків стає більшим, що уповільнює процес чисельного інтегрування і приводить до накопичення помилки.

Для малих за величиною запізнювань застосовують розклад в ряд Тейлора по запізнюванню і далі розв’язують звичайну систему диференціальних рівнянь чисельним методом, наприклад, методом Рунге-Кутти. Такий підхід має обмеження на величину запізнювання і не може бути застосований для багатьох моделей задач.

Таким чином, часто доводиться застосовувати крок чисельного інтегрування більший, ніж величина запізнювання, і неперервні неявні методи Рунге-Кутти. Це приводить до ускладнення чисельного алгоритму, оскільки на кожному кроці чисельного інтегрування доводиться розв’язувати системи нелінійних рівнянь.

У даній роботі на основі побудови поліномів Ньютона та рядів Тейлора розроблений алгоритм, що дозволяє використовувати явні методи Рунге-Кутти для розв’язання систем з запізнюванням і величину кроку чисельного інтегрування більшу, ніж величина запізнювання. Для систем з запізнюванням побудований явний метод Рунге-Кутта п'ятого порядку апроксимації на основі явних методів Рунге-Кутти п’ятого порядку апроксимації, що найбільш часто використовуються. Дані методи зручні в програмуванні, мають велику швидкість підрахунку, ніж неявні методи, і застосовні для великих в порівнянні з величиною запізнювання кроків чисельного інтегрування.