ПОБУДОВА ЯВНИХ МЕТОДІВ РУНГЕ-КУТТИ ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ З ЗАПІЗНЮВАННЯМ

Автор(и)

  • Nataliya Bondarenko Київський національний університет будівництва та архітектури
  • Vasiliy Pechuk Київський національний університет будівництва та архітектури

DOI:

https://doi.org/10.32347/0131-579x.2020.99.16-27

Ключові слова:

системи диференціальних рівнянь з запізнюванням, методи Рунге-Кутти, поліноми Ньютона, чисельні методи, екстраполяція.

Анотація

Розглядається система диференціальних рівнянь із запізнюванням, що є математичною моделлю багатьох технічних процесів з запізнюванням у часі. Часто для моделювання таких систем використовують чисельні методи Рунге-Кутти і метод розкладання в ряд Тейлора по запізнюванню.

При величині запізнювання більшого, ніж крок чисельного інтегрування, чисельний розв’язок даних систем диференціальних рівнянь не викликає складності. Для цього використовують інтерполяцію передісторіі моделі і чисельні методи для звичайних систем диференційних рівнянь. Наприклад, явні методи Рунге-Кутти. Застосовуючи метод кроків, отримують чисельний розв’язок на необхідний проміжок часу. Але, якщо проміжок часу досить великий у порівнянні з запізнюванням, то число кроків стає більшим, що уповільнює процес чисельного інтегрування і приводить до накопичення помилки.

Для малих за величиною запізнювань застосовують розклад в ряд Тейлора по запізнюванню і далі розв’язують звичайну систему диференціальних рівнянь чисельним методом, наприклад, методом Рунге-Кутти. Такий підхід має обмеження на величину запізнювання і не може бути застосований для багатьох моделей задач.

Таким чином, часто доводиться застосовувати крок чисельного інтегрування більший, ніж величина запізнювання, і неперервні неявні методи Рунге-Кутти. Це приводить до ускладнення чисельного алгоритму, оскільки на кожному кроці чисельного інтегрування доводиться розв’язувати системи нелінійних рівнянь.

У даній роботі на основі побудови поліномів Ньютона та рядів Тейлора розроблений алгоритм, що дозволяє використовувати явні методи Рунге-Кутти для розв’язання систем з запізнюванням і величину кроку чисельного інтегрування більшу, ніж величина запізнювання. Для систем з запізнюванням побудований явний метод Рунге-Кутта п'ятого порядку апроксимації на основі явних методів Рунге-Кутти п’ятого порядку апроксимації, що найбільш часто використовуються. Дані методи зручні в програмуванні, мають велику швидкість підрахунку, ніж неявні методи, і застосовні для великих в порівнянні з величиною запізнювання кроків чисельного інтегрування.

Біографія автора

Nataliya Bondarenko, Київський національний університет будівництва та архітектури

Київський національний університет будівництва та архітектури

Посилання

ЛІТЕРАТУРА

Cattaneo C.A Form of Heart Equation with Eliminates the Paradox of Instantaneous Propagations, C.R.Acad.Sci.247, 1958. P. 431-433.

Chen G. Ballistic-Diffusive Heat-Conduction Equations. Phys. Rev. Lett., V. 86, 2001. P. 2297-2300.

Beelen A., Zennaro M. Numerical Methods for Delay Differential Equations. Clarendon Press Oxford, 2003. 206 p.

Joan Gimeno i Alquezar On time Delay Dierential Equations. Final project thesis master of advanced mathematics facultat de matematiques universitat de Barcelona, 2015. 93 p.

Siregar B.H, Rangkuti Y.R, Mansyur A. Numerical Solution of Delayed SIR Model of Tuberculosis with Combination of Runge Kutta Method and Taylor Series Approach. Proceedings of The 5th Annual International Seminar on Trends in Science and Science Education, AISTSSE 2018, 18-19 October 2018, Medan, Indonesia. DOI 10.4108/eai.18-10-2018.2287390.

Baker C.T.H. and Paul C.A.H. Discontinuous solutions of neutral delay differential equations. Applied Numerical Mathematics V. 56, 2006. P. 284–304.

Gu, K. and Niculescu, S.-I., Survey on recent results in the stability and control of time-delay systems. Journal of Dynamical Systems, Measurement, and Control, 2003. V. 125, P. 158–165.

Kyrychko Y.N., Hogan S.J. On the use of delay equations in engineering applications – Journal of Vibration and Control,16(7–8), 2010. P. 943 –960.

Kainhofer R.; Tichy R.F. QMC Methods for the solution of delay differential equationsa. PAMM Proc. Appl. Math. Mech. 2003. V2, P. 503–504.

DOI 10.1002/pamm.200310233.

Ahmad S., Ismail F., Senu N. Solving Oscillatory Delay Differential Equations Using Block Hybrid Methods. Journal of Mathematics, Volume 2018, 2018. Article ID 2960237, 7 p. DOI:10.1155/2018/2960237.

Бондаренко Н.В., Печук В.Д. Моделювання динамічних систем з запізнюванням за допомогою узагальнених методів Рунге-Кутти. Прикладна геометрія та інженерна графіка, 2019. Випуск 96. С. 3–11.

Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Москва. Наука, 1971. 296с.

Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи. Под ред. С.С. Филиппова. Москва. Мир, 1990. 512с.

Ильин М.И. Аппроксимация и интерполяция. Методы и приложения. Учебное пособие, Рязань, 2010. 56 с.

REFERENCES

Cattaneo C.A Form of Heart Equation with Eliminates the Paradox of Instantaneous Propagations, C.R.Acad.Sci.247, 1958. P. 431-433. {in English}

Chen G. Ballistic-Diffusive Heat-Conduction Equations. Phys. Rev. Lett., V. 86, 2001. P. 2297-2300. {in English}

Beelen A., Zennaro M. Numerical Methods for Delay Differential Equations. Clarendon Press Oxford, 2003. 206 p. {in English}

Joan Gimeno i Alquezar On time Delay Dierential Equations. Final project thesis master of advanced mathematics facultat de matematiques universitat de Barcelona, 2015. 93 p. {in English}

Siregar B.H, Rangkuti Y.R, Mansyur A. Numerical Solution of Delayed SIR Model of Tuberculosis with Combination of Runge Kutta Method and Taylor Series Approach. Proceedings of The 5th Annual International Seminar on Trends in Science and Science Education, AISTSSE 2018, 18-19 October 2018, Medan, Indonesia. DOI 10.4108/eai.18-10-2018.2287390. {in English}

Baker C.T.H. and Paul C.A.H. Discontinuous solutions of neutral delay differential equations – Applied Numerical Mathematics V. 56, 2006. P. 284–304. {in English}

Gu, K. and Niculescu, S.-I., Survey on recent results in the stability and control of time-delay systems. Journal of Dynamical Systems, Measurement, and Control, 2003. V. 125, P. 158–165. {in English}

Kyrychko Y.N., Hogan S.J. On the use of delay equations in engineering applications – Journal of Vibration and Control,16(7–8), 2010. P. 943 –960. {in English}

Kainhofer R.; Tichy R.F. QMC Methods for the solution of delay differential equationsa. PAMM Proc. Appl. Math. Mech. 2003. V2, P. 503–504.

DOI 10.1002/pamm.200310233. {in English}

Ahmad S., Ismail F., Senu N. Solving Oscillatory Delay Differential Equations Using Block Hybrid Methods. Journal of Mathematics, Volume 2018, 2018. Article ID 2960237. 7 p. DOI:10.1155/2018/2960237 {in English}

Bondarenko N.V., Pechuk V.D. Modeliuvannia dynamichnykh system z zapizniuvanniam za dopomohoiu uzahalnenykh metodiv Runhe-Kutty. Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika, 2019. Vypusk 96, P. 3-11.{in Ukranian}

El'sgol'c L.E., Norkin S.B. Vvedenie v teoriyu differencial'nyh uravnenij s otklonyayushchimsya argumentom. M.: Nauka, 1971. 296 p.{in Russian}

Hajrer E., Nyorsett S., Vanner G. Reshenie obyknovennyh differencial'nyh uravnenij. Nezhyostkie zadachi. Pod red. S.S. Filippova. M.: Mir, 1990. 512 p. {in Russian}

Il'in M.I. Approksimaciya i interpolyaciya. Metody i prilozheniya. Uchebnoe posobie, Ryazan', 2010. 56 p. {in Russian}

Опубліковано

2020-12-17

Номер

Розділ

Статті