КОНГРУЕНТНІ АКСОЇДИ НЕКРУГЛИХ КОНІЧНИХ КОЛІС, УТВОРЕНІ ЗА ДОПОМОГОЮ СИМЕТРИЧНИХ ДУГ ЛОКСОДРОМИ

Анотація

Якщо дві лінійчаті поверхні перекочуються одна по одній без ковзання, то їх можна розглядати, як аксоїди твердого тіла, що здійснює відповідний рух у просторі. Якщо аксоїди є циліндричними поверхнями, то дослідження їх кочення можна замінити дослідженням кочення центроїд – кривих ортогонального перерізу цих циліндричних поверхонь. Зазвичай розглядається кочення рухомої центроїди по нерухомій. Однак існують випадки, коли центроїди котяться одна по одній, одночасно обертаючись навколо нерухомих центрів. Прикладом круглих центроїд є кола, некруглих – конгруентні еліпси, у яких центрами обертання є фокуси. У обох випадках міжцентрова відстань є сталою. Точка контакту кіл розташована на міжцентровій відстані і є нерухомою під час їх обертання, а для еліпсів вона «плаває» на цьому відрізку.

         У статті [1] розглянуті конгруентні центроїди, утворені симетричними дугами логарифмічної спіралі. Центрами обертання центроїд є полюси спіралей. Характерною особливістю логарифмічних спіралей є те, що вони перетинають всі радіус-вектори, які виходять із полюса, під сталим кутом. Для кулі прообразом логарифмічної спіралі є локсодрома, яка перетинає всі меридіани під сталим кутом і закручується навколо полюса кулі. В статті висунута гіпотеза, що замкнені сферичні криві, утворені із дуг локсодроми подібно до центроїд із дуг логарифмічної спіралі на площині, теж можуть обкочуватися навколо осей, що перетинаються в центрі сфери. Якщо ці замкнені криві сполучити прямолінійними відрізками із центром сфери, то утворяться два конуси – аксоїди не круглих конічних коліс. Ця гіпотеза ґрунтується на тому, що при нескінченному зростанні радіуса кулі її поверхня в околі полюса перетворюється у площину, а меридіани – у прямі лінії, що виходять із полюса. Відповідно, локсодрома перетворюється у логарифмічну спіраль.

В статті показано, що висунута гіпотеза підтверджується. В ній побудовано аксоїди некруглих коліс, осі яких перетинаються під прямим кутом. Знайдено вираз довжини дуги локсодроми і показано, що при повороті конічних аксоїдів на відповідні кути навколо своїх осей криві дотику проходять рівні шляхи. Це означає, що обкочування аксоїдів відбувається без ковзання.