КОНГРУЕНТНІ АКСОЇДИ НЕКРУГЛИХ КОНІЧНИХ КОЛІС, УТВОРЕНІ ЗА ДОПОМОГОЮ СИМЕТРИЧНИХ ДУГ ЛОКСОДРОМИ

Автор(и)

DOI:

https://doi.org/10.32347/0131-579x.2020.99.110-123

Ключові слова:

логарифмічна спіраль, локсодрома, еліпс, аксоїди, сферичні центроїди.

Анотація

Якщо дві лінійчаті поверхні перекочуються одна по одній без ковзання, то їх можна розглядати, як аксоїди твердого тіла, що здійснює відповідний рух у просторі. Якщо аксоїди є циліндричними поверхнями, то дослідження їх кочення можна замінити дослідженням кочення центроїд – кривих ортогонального перерізу цих циліндричних поверхонь. Зазвичай розглядається кочення рухомої центроїди по нерухомій. Однак існують випадки, коли центроїди котяться одна по одній, одночасно обертаючись навколо нерухомих центрів. Прикладом круглих центроїд є кола, некруглих – конгруентні еліпси, у яких центрами обертання є фокуси. У обох випадках міжцентрова відстань є сталою. Точка контакту кіл розташована на міжцентровій відстані і є нерухомою під час їх обертання, а для еліпсів вона «плаває» на цьому відрізку.

         У статті [1] розглянуті конгруентні центроїди, утворені симетричними дугами логарифмічної спіралі. Центрами обертання центроїд є полюси спіралей. Характерною особливістю логарифмічних спіралей є те, що вони перетинають всі радіус-вектори, які виходять із полюса, під сталим кутом. Для кулі прообразом логарифмічної спіралі є локсодрома, яка перетинає всі меридіани під сталим кутом і закручується навколо полюса кулі. В статті висунута гіпотеза, що замкнені сферичні криві, утворені із дуг локсодроми подібно до центроїд із дуг логарифмічної спіралі на площині, теж можуть обкочуватися навколо осей, що перетинаються в центрі сфери. Якщо ці замкнені криві сполучити прямолінійними відрізками із центром сфери, то утворяться два конуси – аксоїди не круглих конічних коліс. Ця гіпотеза ґрунтується на тому, що при нескінченному зростанні радіуса кулі її поверхня в околі полюса перетворюється у площину, а меридіани – у прямі лінії, що виходять із полюса. Відповідно, локсодрома перетворюється у логарифмічну спіраль.

В статті показано, що висунута гіпотеза підтверджується. В ній побудовано аксоїди некруглих коліс, осі яких перетинаються під прямим кутом. Знайдено вираз довжини дуги локсодроми і показано, що при повороті конічних аксоїдів на відповідні кути навколо своїх осей криві дотику проходять рівні шляхи. Це означає, що обкочування аксоїдів відбувається без ковзання.

Посилання

Література

Кресан Т.А., Пилипака С.Ф., Грищенко І.Ю., Бабка В.М. Окремий випадок конгруентних центроїд некруглих коліс, утворених дугами логарифмічної спіралі. Прикладна геометрія та інженерна графіка. Київ, КНУБА, 2020. Вип. 98. С. 84 – 93.

Литвин Ф.Л. Теория зубчатых зацеплений. Москва, Наука, 1968. 584 с.

Литвин Ф.Л. Некруглые зубчатые колеса. Москва, Машгиз, 1956. 312 с.

Утутов Н.Л. Состояние теории передач некруглыми зубчатыми колесами. Луганск, 1999. 31 c.

Коврегін В.В. Аналітичний опис центроїд некруглих зубчатих коліс. Праці ТДАТУ. Прикладна геометрія та інженерна графіка. Мелітополь: ТДАТУ, 2011. Вип. 4. Т. 49. С. 125 – 129.

Легета Я.П. Опис та побудова спряжених центроїд некруглих зубчастих коліс. Сучасні проблеми моделювання. Мелітополь: МДПУ ім. Богдана Хмельницького, 2014. Вип. 3. С. 87 – 92.

Легета Я.П., Шоман О.В. Геометричне моделювання центроїд некруглих зубчастих коліс за передавальною функцією. Науковий журнал: МНУ імені В.О. Сухомлинського. Геометричне моделювання та інформаційні технології, 2016. № 2. С. 59 – 63.

B. Laczik. Design and Manufacturing of Non-Circular Gears by GivenTransfer Function. [Електронний ресурс] Режим доступу: http://www.hexagon.de/pdf/noncgear.pdf.

D. Mundo., Danneli. G. A. Use of Non-Circular Gears in Pressing Machine Driving Systems. [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://www.wseas.us/e-library/conferences/udine2004/papers/483-172.pdf.

T. Hasse. Über die vielfältigen Möglichkeiten, unrunde Zahnräder für typische Getriebeaufgaben der Technik optimal auszulegen. [Електронний ресурс] URL: http://www.optimasimula.de/downloads/moeglichkeiten_unrundraeder.pdf

Несвидомин В.Н., Пилипака Т.С., Кремец Т.С. Способ аналитического отображения плоских изображений на криволинейные поверхности. MOTROL. Commission of motorization and energetics in agriculture. Lublin-Preszow. Vol 16. № 3, 2014. C. 58 – 65.

References

Kresan T.A., Pylypaka S.F., Hryshchenko I.Iu., Babka V.M. Okremyi vypadok konhruentnykh tsentroid nekruhlykh kolis, utvorenykh duhamy loharyfmichnoi spirali / Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika. Kyiv, KNUBA, 2020. Vyp. 98. P. 84 – 93. {in Ukranian}

Litvin F.L. Teoriya zubchatykh zaceplenij. Moscow, Nauka, 1968. 584 p. {in Russian}

Litvin F.L. Nekruglye zubchatye kolesa. Moscow: Mashgiz, 1956. 312 p. {in Russian}

Ututov N.L. Sostoyanie teorii peredach nekruglymi zubchatymi kolesami. Lugansk, 1999. 31 p. {in Russian}

Kovrehin V.V. Analitychnyi opys tsentroid nekruhlykh zubchatykh kolis. Pratsi TDATU. Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika. Melitopol: TDATU, 2011. Vyp. 4. T. 49. P. 125 – 129. {in Ukranian}

Leheta Ya.P. Opys ta pobudova spriazhenykh tsentroid nekruhlykh zubchastykh kolis. Suchasni problemy modeliuvannia. Melitopol: MDPU im. Bohdana Khmelnytskoho, 2014. Vyp. 3. P. 87 – 92. {in Ukranian}

Leheta Ya.P., Shoman O.V. Heometrychne modeliuvannia tsentroid nekruhlykh zubchastykh kolis za peredavalnoiu funktsiieiu. Naukovyi zhurnal: MNU imeni V.O. Sukhomlynskoho. Heometrychne modeliuvannia ta informatsiini tekhnolohii, 2016. № 2. S. 59 – 63. {in Ukranian}

Laczik. Design and Manufacturing of Non-Circular Gears by GivenTransfer Function. [Electronic resource] Access mode:http://www.hexagon.de/pdf/noncgear.pdf. {in English}

D. Mundo., Danneli. G. A. Use of Non-Circular Gears in Pressing Machine Driving Systems. [Electronic resource] URL :http://www.wseas.us/e-library/conferences/udine2004/papers/483-172.pdf. {in English}

T. Hasse. Über die vielfältigen Möglichkeiten, unrunde Zahnräder für typische Getriebeaufgaben der Technik optimal auszulegen. http://www.optimasimula.de/downloads/moeglichkeiten_unrundraeder.pdf. {in German}

Nesvidomin V.N., Pilipaka T.S., Kremec T.S. Sposob analiticheskogo otobrazheniya ploskikh izobrazhenij na krivolinejnye poverkhnosti. MOTROL. Commission of motorization and energetics in agriculture. Lublin-Preszow. Vol 16. № 3, 2014. C. 58 – 65. {in Russian}

Опубліковано

2020-12-17

Номер

Розділ

Статті