МУЛЬТИПЛІКАТИВНА АПРОКСИМАЦІЯ ВИПАДКОВОГО ПРОЦЕСУ

Анотація

У даній роботі розглядається стохастичне диференціальне рівняння в нескінченновимірному дійсному гільбертовому просторі. За допомогою метода мультиплікативних представлень Далецького - Троттера будується його наближений розв’язок.

При виконані класичних умов на коефіцієнти існує єдиний з точністю до стохастичної еквівалентності розв’язок стохастичного рівняння, який є випадковим процесом. Цей розв’язок породжує еволюційну сім’ю розрішаючих операторів за формулою x(t)= S(t,  Побудуємо розбиття відрізку  точками. На кожному елементарному відрізку   розглядається рівняння з однорідними по часу коефіцієнтами. Існує єдиний розв’язок цього рівняння на елементарному відрізку, який породжує розрішаючий оператор за формулою Будується мультиплікативний вираз  Користуючись методом мультиплікативних представлень Далецького – Троттера доводиться, що даний мультиплікативний вираз стохастично еквівалентний представленню, яке породжується розв’язком вихідного рівняння. А це і означає, що означений мультиплікативний вираз є відповідно представленням розв’язку вихідного рівняння. Тобто збігається з імовірністю одиниця до розв’язку вихідного стохастичного рівняння. Слід відзначити, що це можливо при виконанні додаткових умов на коефіцієнти рівняння. Ці умови є неперервність за часом коефіцієнтів рівняння. Таким чином побудоване мультиплікативне представлення можна інтерпретувати як наближений розв’язок вихідного рівняння. Цей метод мультиплікативної апроксимації дає можливість спрощувати дослідження відповідного випадкового процесу як на елементарному відрізку, так і в цілому.

Як відомо, розв’язок стохастичного рівняння за  відомою формулою породжує розв’язок оберненого рівняння Колмогорова у відповідному просторі. Ця схема мультиплікативної апроксимації може бути перенесена на розв’язок параболічного рівняння, яким є обернене рівняння Колмогорова. Таким чином метод мультиплікативної апроксимації дає можливість спрощувати дослідження і стохастичних рівнянь і рівнянь в частинних похідних.