МУЛЬТИПЛІКАТИВНА АПРОКСИМАЦІЯ ВИПАДКОВОГО ПРОЦЕСУ

Автор(и)

DOI:

https://doi.org/10.32347/0131-579X.2021.100.205-214

Ключові слова:

стохастичне рівняння, рівняння в частинних похідних, умовне середнє, наближений розв’язок, стохастична еквівалентність, вимірність, випадковий процес, еволюційний оператор, простір Гільберта, дифузійний процес, інтегральне рівняння, початкове значення, нерівність Гронуола, функціональний простір, нелінійні коефіцієнти

Анотація

У даній роботі розглядається стохастичне диференціальне рівняння в нескінченновимірному дійсному гільбертовому просторі. За допомогою метода мультиплікативних представлень Далецького - Троттера будується його наближений розв’язок.

При виконані класичних умов на коефіцієнти існує єдиний з точністю до стохастичної еквівалентності розв’язок стохастичного рівняння, який є випадковим процесом. Цей розв’язок породжує еволюційну сім’ю розрішаючих операторів за формулою x(t)= S(t,  Побудуємо розбиття відрізку  точками. На кожному елементарному відрізку   розглядається рівняння з однорідними по часу коефіцієнтами. Існує єдиний розв’язок цього рівняння на елементарному відрізку, який породжує розрішаючий оператор за формулою Будується мультиплікативний вираз  Користуючись методом мультиплікативних представлень Далецького – Троттера доводиться, що даний мультиплікативний вираз стохастично еквівалентний представленню, яке породжується розв’язком вихідного рівняння. А це і означає, що означений мультиплікативний вираз є відповідно представленням розв’язку вихідного рівняння. Тобто збігається з імовірністю одиниця до розв’язку вихідного стохастичного рівняння. Слід відзначити, що це можливо при виконанні додаткових умов на коефіцієнти рівняння. Ці умови є неперервність за часом коефіцієнтів рівняння. Таким чином побудоване мультиплікативне представлення можна інтерпретувати як наближений розв’язок вихідного рівняння. Цей метод мультиплікативної апроксимації дає можливість спрощувати дослідження відповідного випадкового процесу як на елементарному відрізку, так і в цілому.

Як відомо, розв’язок стохастичного рівняння за  відомою формулою породжує розв’язок оберненого рівняння Колмогорова у відповідному просторі. Ця схема мультиплікативної апроксимації може бути перенесена на розв’язок параболічного рівняння, яким є обернене рівняння Колмогорова. Таким чином метод мультиплікативної апроксимації дає можливість спрощувати дослідження і стохастичних рівнянь і рівнянь в частинних похідних.

Біографії авторів

Зоя Наголкіна, Київський національний університет будівництва і архітектури

к. ф-м. н. доцент

Юрій Філонов, Київський національний університет будівництва і архітектури

к.ф-м.н. доцент

Посилання

Література

Лукшин А.В., Смирнов С.Н, Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений. М., Математическое моделирование , 1990, т. 2, 11. С.108-121.

Кузнецов Д.Ф. Стохастческие дифференциальные уравнения : теорія и практика численного решения. СПБ: Изд-во Политехн.ун-та, 2010. 816с.

Белопольская Я.И., Наголкина З.И. О мультипликативных представлениях решений нелинйных стохастческих уравнений.К., Ин-т математики АН УССР, 1978, Сб.Вероятностные распределения в бесконечномерных пространствах. С. 22-36.

Далецкий Ю.Л. Бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними параболические уравнения.Успехи мат. наук, 1967, 22. Вып.4. С.3-54.

Гихман И.И., Скороход ∘А.В. Теория случайных процессов. Москва: Наука, 1975 т. 3, 496с.

Яненко Н.Н. Новосибирск, Метод дробних шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. 197с.

References

Lukshin A.V., Smirnov S.N, Chislennye metody reshenija stohasticheskih differencial'nyh uravnenij. M., Matematicheskoe modelirovanie , 1990, t. 2, 11. S.108-121.

Kuznecov D.F. Stohastcheskie differencial'nye uravnenija : teorіja i praktika chislennogo reshenija. SPB: Izd-vo Politehn.un-ta, 2010. 816s.

Belopol'skaja Ja.I., Nagolkina Z.I. O mul'tiplikativnyh predstavlenijah reshenij nelinjnyh stohastcheskih uravnenij.K., In-t matematiki AN USSR, 1978, Sb.Verojatnostnye raspredelenija v beskonechnomernyh prostranstvah. S. 22-36.

Daleckij Ju.L. Beskonechnomernye jellipticheskie operatory i svjazannye s nimi parabolicheskie uravnenija.Uspehi mat. nauk, 1967, 22. Vyp.4. S.3-54.

Gihman I.I., Skorohod ∘A.V. Teorija sluchajnyh processov. Moskva: Nauka, 1975 t. 3, 496s.

Janenko N.N. Novosibirsk, Metod drobnih shagov reshenija mnogomernyh zadach matematicheskoj fiziki. Novosibirsk: Nauka, 1967. 197s.

##submission.downloads##

Опубліковано

2021-05-24