ЗАСТОСУВАННЯ КІЛ ДЛЯ СПРЯЖЕННЯ ПЛОСКИХ ОБВОДІВ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ ГЛАДКОСТІ

Анотація

При геометричному моделюванню обводів, особливо для спряження ділянок плоских обводів першого порядку гладкості, можуть бути застосованими дуги кіл. В статті запропоновані способи визначення рівнянь кола для двох способів його завдання: завдання кола точкою та двома дотичними, жодна з яких не містить задану точку, а також завдання кола трьома дотичними. Визначення рівнянь кіл в обох випадках проводилося з використанням проективної системи координат.

В першому випадку, коли коло задається точкою та двома дотичними, жодна з яких не містить цю точку,  центр кола спряження визначається як точка перетину двох геометричних місць точок – бісектриси кута між дотичними та параболи, фокус якої – задана точка, а директриса – одна з заданих  дотичних. В загальному випадку існує 2 кола спряження, для яких визначено канонічні рівняння. Параметричні рівняння кіл спряження, параметри яких дорівнюють 0 та ∞ на дотичних і дорівнюють одиниці в заданій точці, за допомогою афінних та проективних координат точок дотику визначаються спочатку в проективній системі координат, а надалі переводяться в афінну систему.

Для другого випадку, при завданні кола за допомогою трьох дотичних прямих, спочатку визначається в проективній системі координат рівняння кривої другого порядку, дотичної до цих прямих. Дотичні прямі при цьому приймаються за координатні прямі проективної системи координат. Одинична точка проективної системи координат при цьому  обирається в метацентрі отриманого таким чином базисного трикутника. Рівняння дотичної до базисних прямих кривої другого порядку містить дві невідомі змінні, додатні або від’ємні значення яких визначають розташування чотирьох можливих дотичних кривих другого порядку. Після запису векторно-параметричного рівняння дотичної кривої другого порядку в афінній системі координат записується рівняння для визначення параметрів циклічних точок. Для того, щоб отримане в проективній площині рівняння дотичної кривої другого порядку було рівнянням кола, йому мають задовольняти координати циклічних точок площини, що дозволяє записати друге рівняння для визначення параметрів циклічних точок. Розв’язавши систему двох рівнянь, отримуємо шукані рівняння кіл, дотичних до трьох заданих прямих.