ЗАСТОСУВАННЯ КІЛ ДЛЯ СПРЯЖЕННЯ ПЛОСКИХ ОБВОДІВ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ ГЛАДКОСТІ

Автор(и)

  • Галина Коваль Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського»
  • Маргарита Лазарчук Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського» https://orcid.org/0000-0001-6192-6825
  • Людмила Овсієнко Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського» https://orcid.org/0000-0002-4614-9498

DOI:

https://doi.org/10.32347/0131-579X.2021.100.162-171

Ключові слова:

рівняння кола, яке проходить через точку і дотикається до двох прямих, рівняння кола, яке дотикається до трьох прямих, циклічні точки площини, проективна система координат

Анотація

При геометричному моделюванню обводів, особливо для спряження ділянок плоских обводів першого порядку гладкості, можуть бути застосованими дуги кіл. В статті запропоновані способи визначення рівнянь кола для двох способів його завдання: завдання кола точкою та двома дотичними, жодна з яких не містить задану точку, а також завдання кола трьома дотичними. Визначення рівнянь кіл в обох випадках проводилося з використанням проективної системи координат.

В першому випадку, коли коло задається точкою та двома дотичними, жодна з яких не містить цю точку,  центр кола спряження визначається як точка перетину двох геометричних місць точок – бісектриси кута між дотичними та параболи, фокус якої – задана точка, а директриса – одна з заданих  дотичних. В загальному випадку існує 2 кола спряження, для яких визначено канонічні рівняння. Параметричні рівняння кіл спряження, параметри яких дорівнюють 0 та ∞ на дотичних і дорівнюють одиниці в заданій точці, за допомогою афінних та проективних координат точок дотику визначаються спочатку в проективній системі координат, а надалі переводяться в афінну систему.

Для другого випадку, при завданні кола за допомогою трьох дотичних прямих, спочатку визначається в проективній системі координат рівняння кривої другого порядку, дотичної до цих прямих. Дотичні прямі при цьому приймаються за координатні прямі проективної системи координат. Одинична точка проективної системи координат при цьому  обирається в метацентрі отриманого таким чином базисного трикутника. Рівняння дотичної до базисних прямих кривої другого порядку містить дві невідомі змінні, додатні або від’ємні значення яких визначають розташування чотирьох можливих дотичних кривих другого порядку. Після запису векторно-параметричного рівняння дотичної кривої другого порядку в афінній системі координат записується рівняння для визначення параметрів циклічних точок. Для того, щоб отримане в проективній площині рівняння дотичної кривої другого порядку було рівнянням кола, йому мають задовольняти координати циклічних точок площини, що дозволяє записати друге рівняння для визначення параметрів циклічних точок. Розв’язавши систему двох рівнянь, отримуємо шукані рівняння кіл, дотичних до трьох заданих прямих.

Біографії авторів

Галина Коваль, Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського»

к. т. н., доцент

Маргарита Лазарчук , Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського»

  ст. викладач

Людмила Овсієнко, Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського»

ст. викладач

Посилання

Література

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Москва : Наука, 1974. 832 с. с ил.

Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Москва : Наука, 1979. 512 с. с ил.

Надолинный В. А. Аналитические методы в конструировании поверхностей. Учебное пособие. Киев : КПИ, 1981. 43 с.

Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. Москва : Мир, 1982. 304 с.

Коваль Г.М. Застосування кола при геометричному моделюванні плоских обводів/ Г.М. Коваль / Прикладна геометрія та інженерна графіка. Вип. 97. Киев : КНУБА. 2020. С. 69 – 74.

Надолинный В.А. Основы теории проективных рациональных поверхностей /Автореферат дисс. … докт. техн. наук, 05.01.01. Москва, 1989. 30 с.

Коваль Г.М. Конструирование рациональных кривых третьего порядка c заданными радиусами кривизны / Киев: КПИ, 1994. 6с. Деп. в ГНТБ Украины 22.02.94, № 400 – Ук94.

References

Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike (dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov). M.: Nauka, 1974. 832 s. s il. {in Russian}.

Aleksandrov P. S. Kurs analiticheskoy geometrii i lineynoy algebry. M.: Nauka, 1979. 512 s. s il. {in Russian}.

Nadolinnyy V. A. Analiticheskiye metody v konstruirovanii poverkhnostey. Uchebnoye posobiye. /Kiyev: KPI, 1981. 43 s. {in Russian}.

Foks A., Pratt M. Vychislitel'naya geometriya. Primeneniye v proyektirovanii i na proizvodstve. M.: Mir, 1982. 304 s. {in Russian}.

Koval H. M. Zastosuvannia kola pry heometrychnomu modeliuvanni ploskykh obvodiv/ H.M. Koval // Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika. Vyp. 97, K.: KNUBA. 2020 – S. 69 – 74. {in Ukranian}.

Nadolinnyy V. A. Osnovy teorii proyektivnykh ratsional'nykh poverkhnostey /Avtoreferat diss. … dokt. tekhn. nauk, 05.01.01. – M., 1989. 30 s. {in Russian}.

Koval G. M. Konstruirovaniye ratsional'nykh krivykh tret'yego poryadka c zadannymi radiusami krivizny / Kiyev: KPI, 1994. 6s. – Dep. v GNTB Ukrainy 22.02.94, № 400 – Uk94. {in Russian}.

##submission.downloads##

Опубліковано

2021-05-24