ПРУЖНЕ ЗГИНАННЯ СМУГИ ІЗ ЗНАЧНИМ ПРОГИНОМ ПІД ДІЄЮ ПРИКЛАДЕНИХ СИЛ ТА МОМЕНТУ

Анотація

Розглянуто пружне згинання смуги прямокутного перерізу у вигляді консольно закріпленого стержня. В курсі опору матеріалів зазвичай розглядаються задачі деформації балок під дією прикладених сил і моментів, які допускають незначні прогини. В зв’язку із малими кутовими переміщеннями пружної лінії приймається спрощений вираз її кривини і теорія згину в такому випадку носить лінійний характер. При значних прогинах стержнів лінійною теорією згину користуватися не можна, потрібно використовувати точний вираз кривини поздовжньої пружної осі стержня.

В статті розглянуто згин смуги із малою її товщиною в порівнянні із шириною, прикладом якої може служити лінійка. Передбачається, що матеріал смуги працює пружно згідно закону Гука і після припинення дії деформуючих зусиль повністю відновлює свою форму. За рахунок малої товщини смуги в площині згину в порівнянні з довжиною цієї смуги переміщення кінцевої точки смуги виходять значними. В той же час в будь-якому малому об’ємі цієї смуги з лінійними розмірами порядку її товщини всі деформації залишаються малими. Таким чином, при малих внутрішніх пружних деформаціях досягаються великі переміщення кінця консольної смуги при її згинанні.

Під дією прикладених сил і моментів пружна вісь смуги набуває криволінійної форми, яка визначається залежністю її кривини від довжини дуги. Згідно теорії пружного згину кривина смуги прямо пропорціональна прикладеному моменту і обернено пропорціональна її жорсткості. Така залежність кривини представляє собою натуральне рівняння кривої. В диференціальній геометрії існують формули переходу від натурального рівняння кривої до параметричних рівнянь, за якими криву можна побудувати. Однак цей перехід здійснити до кінцевого результату практично не вдається із-за подвійного інтегрування виразів навіть для найпростіших випадків навантаження смуги. Наприклад, при дії зосередженої сили на кінці консолі момент має лінійну залежність. Крива із лінійним натуральним рівнянням відома і носить назву клотоїди. Однак її побудову потрібно здійснювати чисельними методами. В роботі розглянуто цей випадок в поєднанні із дією прикладеного моменту і побудовано пружну вісь смуги.