ПАРКЕТИ З РОМБІВ, ЩО СКЛАДАЮТЬ ПРАВИЛЬНУ П’ЯТИКУТНУ ЗІРКУ, ТА РОМБІВ, ЩО ДОПОВНЮЮТЬ ЇЇ ДО ПРАВИЛЬНОГО ДЕСЯТИКУТНИКА

Анотація

Незважаючи на те, що правильними п'ятикутниками не можна заповнити площину без накладень та пропусків, задача про замощення площини правильними п’ятикутниками продовжує займати уми не лише геометрів, а й дизайнерів, які розробляють нові види орнаментів. Це пов’язано з тим, що правильний п’ятикутник – це фігура, яка з усіх правильних багатокутників має найвищі естетичні якості. Тому розробка способів заповнення площини правильними п’ятикутниками є нагальним завданням як геометрів, так і дизайнерів.

Одним із рішень поставленої задачі може бути замощення площини правильними п'ятикутниками, при якому неминучі накладення та пропуски не руйнують композицію орнаменту, а навпаки, стають її внутрішньо властивою частиною. Наприклад, якщо правильний п’ятикутник перетворити на правильну п’ятикутну зірку, складену з п’яти ромбів з кутами 72° і 108° і доповнити її п’ятьма ромбами з кутами 36° і 144°, щоб утворився правильний десятикутник , накладеннями будуть ромби з кутами 36° і 144°, а пропусками - ромби з кутами 72° і 108°.

Метою роботи є розробка нових, не вивчених раніше способів замощення площини ромбами, що складають правильну п’ятикутну зірку, та ромбами, що доповнюють її до правильного десятикутника. Причому результати, отримані нами, не повторюють роботи, виконані іншими дослідниками, наприклад Роджером Пенроузом, але доповнюють їх новими видами орнаменту, що включає елементи правильного п’ятикутника.

Розглянуто класичний варіант замощення площини ромбами з кутами 72° і 108° та ромбами з кутами 36° і 144° та показано його зв’язок із мозаїкою Пенроуза. Звідси випливає, що паркет, розроблений Роджером Пенроузом, не є єдиним паркетом, який можна скласти з ромбів, що утворюють правильну п'ятикутну зірку, і ромбів, що доповнюють її до правильного десятикутника. Показано, що паркет, розроблений ним, не є єдиним паркетом, який можна скласти з ромбів, що утворюють правильну п’ятикутну зірку, і ромбів, що доповнюють її до правильного десятикутника. Показано, що є лише шість способів складання правильного десятикутника з ромбів з кутами 72° і 108° та ромбів з кутами 36° і 144°. Запропоновано чотири не відомі раніше варіанти паркету, що складається з ромбів, що утворюють правильну п’ятикутну зірку, і ромбів, що доповнюють її до правильного десятикутника. Передбачено, що наші подальші дослідження будуть спрямовані на розроблення паркетів, які складаються з ромбів, що утворюють п’ятикутні та десятикутні зірки.