ПАРКЕТИ З РОМБІВ, ЩО СКЛАДАЮТЬ ПРАВИЛЬНУ П’ЯТИКУТНУ ЗІРКУ, ТА РОМБІВ, ЩО ДОПОВНЮЮТЬ ЇЇ ДО ПРАВИЛЬНОГО ДЕСЯТИКУТНИКА

Автор(и)

  • Олександр Ніцин Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут», Ukraine https://orcid.org/0000-0001-7900-2612

DOI:

https://doi.org/10.32347/0131-579X.2021.101.156-167

Ключові слова:

Мозаїки, Паркети, трансляційна симетрія, аперіодичне замощення площини, правильні п’ятикутники та десятикутники

Анотація

Незважаючи на те, що правильними п'ятикутниками не можна заповнити площину без накладень та пропусків, задача про замощення площини правильними п’ятикутниками продовжує займати уми не лише геометрів, а й дизайнерів, які розробляють нові види орнаментів. Це пов’язано з тим, що правильний п’ятикутник – це фігура, яка з усіх правильних багатокутників має найвищі естетичні якості. Тому розробка способів заповнення площини правильними п’ятикутниками є нагальним завданням як геометрів, так і дизайнерів.

Одним із рішень поставленої задачі може бути замощення площини правильними п'ятикутниками, при якому неминучі накладення та пропуски не руйнують композицію орнаменту, а навпаки, стають її внутрішньо властивою частиною. Наприклад, якщо правильний п’ятикутник перетворити на правильну п’ятикутну зірку, складену з п’яти ромбів з кутами 72° і 108° і доповнити її п’ятьма ромбами з кутами 36° і 144°, щоб утворився правильний десятикутник , накладеннями будуть ромби з кутами 36° і 144°, а пропусками - ромби з кутами 72° і 108°.

Метою роботи є розробка нових, не вивчених раніше способів замощення площини ромбами, що складають правильну п’ятикутну зірку, та ромбами, що доповнюють її до правильного десятикутника. Причому результати, отримані нами, не повторюють роботи, виконані іншими дослідниками, наприклад Роджером Пенроузом, але доповнюють їх новими видами орнаменту, що включає елементи правильного п’ятикутника.

Розглянуто класичний варіант замощення площини ромбами з кутами 72° і 108° та ромбами з кутами 36° і 144° та показано його зв’язок із мозаїкою Пенроуза. Звідси випливає, що паркет, розроблений Роджером Пенроузом, не є єдиним паркетом, який можна скласти з ромбів, що утворюють правильну п'ятикутну зірку, і ромбів, що доповнюють її до правильного десятикутника. Показано, що паркет, розроблений ним, не є єдиним паркетом, який можна скласти з ромбів, що утворюють правильну п’ятикутну зірку, і ромбів, що доповнюють її до правильного десятикутника. Показано, що є лише шість способів складання правильного десятикутника з ромбів з кутами 72° і 108° та ромбів з кутами 36° і 144°. Запропоновано чотири не відомі раніше варіанти паркету, що складається з ромбів, що утворюють правильну п’ятикутну зірку, і ромбів, що доповнюють її до правильного десятикутника. Передбачено, що наші подальші дослідження будуть спрямовані на розроблення паркетів, які складаються з ромбів, що утворюють п’ятикутні та десятикутні зірки.

Біографія автора

Олександр Ніцин , Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут»

д.т.н., професор

Посилання

Литература

Bruijn de, N. G. Algebraic theory of Penrose’s non-periodic tilings of the plane. Indagationes Mathematicae, Kon. Nederl. Akad. Wetensch, 1981. Proc. Ser. A. Vol. 84. P. 38–66.

Bruijn de, N. G. Quasicrystals and their Fourier transform. Indagationes Mathematicae, Kon. Nederl. Akad. Wetensch, 1986. Proc. Ser. A. Vol. 89. P. 123–152.

Bruijn de, N. G. Updown generation of Penrose tilings. Indagationes Mathematicae N.S., 1990. P. 201–219.

Gardner M. Mathematical games. Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles. Scientific Amer., 1977. Vol. 1. P. 110–121.

Penrose R. Pentaplexity A Class of Non-Periodic Tilings of the Plane. The Mathematical Intelligencer, 1979. Vol. 2. P. 32–37.

Senechal M. Quasicrystals and geometry. Cambridge Univ. Press, 1995. 351 p.

Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам; пер. с англ. Ю. А. Данилова. Москва: Мир, 1993. 416 с.

Грюнбаум Б., Шепард Дж. Ч. Некоторые проблемы, связанные с плоскими мозаиками. Математический цветник: сб. статей / состав. и ред. Дэвид А. Кларнер; пер. с англ. Ю. А. Данилова; под ред. И. М. Яглома. Москва: Мир, 1983. С. 220252.

References

Bruijn de, N. G. (1981). Algebraic theory of Penrose’s non-periodic tilings of the plane. Indagationes Mathematicae, Kon. Nederl. Akad. Wetensch, Proc. Ser. A. Vol. 84, pp. 38–66.

Bruijn de, N. G. (1986). Quasicrystals and their Fourier transform. Indagationes Mathematicae, Kon. Nederl. Akad. Wetensch, Proc. Ser. A. Vol. 89, pp. 123–152.

Bruijn de, N. G. (1990). Updown generation of Penrose tilings. Indagationes Mathematicae N.S., pp. 201–219.

Gardner M. (1977). Mathematical games. Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles. Scientific Amer., Vol. 1, pp. 110–121.

Penrose R. (1979). Pentaplexity A Class of Non-Periodic Tilings of the Plane. The Mathematical Intelligencer, Vol. 2, pp. 32–37.

Senechal M. (1995). Quasicrystals and geometry. Cambridge Univ. Press.

Gardner M. (1993). Ot mozaik Penrouza k nadjozhnym shifram; per. s angl. Ju. A. Danilova. Moskva: Mir.

Grjunbaum B., Shepard Dzh. Ch. (1983). Nekotorye problemy, svjazannye s ploskimi mozaikami. Matematicheskij cvetnik: sb. statej / sostav. i red. Djevid A. Klarner; per. s angl. Ju. A. Danilova; pod red. I. M. Jagloma. Moskva: Mir, S. 220252.

##submission.downloads##

Опубліковано

2021-12-20

Номер

Розділ

Статті