ЯВНІ ГІБРИДНІ МЕТОДИ П’ЯТОГО ПОРЯДКУ ЗБІЖНОСТІ ДЛЯ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ З ЗАПІЗНЮВАННЯМ

Анотація

У роботі розглядаються системи диференціальних рівнянь з запізнюванням, які є математичними моделями багатьох технічних процесів з запізнюванням у часі. Побудовано явний гібридний метод п’ятого порядку збіжності для систем диференціальних рівнянь з запізнюванням для змінного кроку чисельного інтегрування. Даний алгоритм розроблено на основі найбільш використовуваних явних методів Рунге-Кутти п’ятого порядку збіжності для звичайних систем диференціальних рівнянь та побудови поліномів Ньютона для передісторії моделі і формули Тейлора. Наведено основні принципи побудови таких явних гібридних методів вищих порядків збіжності. Отримана точна оцінка локальної похибки чисельного інтегрування даним методом.

Даний алгоритм дозволяє використання кроків чисельного інтегрування більших ніж величина запізнювання або процедур корегування величини кроку в залежності від похибки обчислень. Така задача чисельного інтегрування динамічних систем з запізнюванням виникає, коли проміжок часу досить великий порівняно з запізнюванням. Для чисельного інтегрування таких задач раніше застосовувались неявні неперервні методи Рунге-Кутти, що ускладнювали чисельний алгоритм, оскільки на кожному кроці чисельного інтегрування доводиться розв’язувати нелінійні системи рівнянь. Побудований нами явний гібридний метод для систем диференціальних рівнянь з запізнюванням зручний для програмування, має велику швидкість підрахунку чисельного розв'язку, порівняно з неявними методами для таких моделей задач. Також даний метод не має обмежень на величину запізнювання, на відміну від гібридних методів, що використовують розклад в ряд Тейлора по запізнюванню. Отриманий метод може бути використано для побудови карт динамічних режимів, при дослідженні на регулярну та хаотичну поведінку динамічних систем з запізнюванням.