ЯВНІ ГІБРИДНІ МЕТОДИ П’ЯТОГО ПОРЯДКУ ЗБІЖНОСТІ ДЛЯ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ З ЗАПІЗНЮВАННЯМ

Автор(и)

  • Василій Печук Київський національний університет будівництва і архітектури, Ukraine https://orcid.org/0000-0001-9360-8522
  • Наталія Бондаренко Київський національний університет будівництва і архітектури, United States https://orcid.org/0000-0002-6078-9467

DOI:

https://doi.org/10.32347/0131-579X.2021.101.168-180

Ключові слова:

системи диференціальних рівнянь з запізнюванням, чисельні методи, методи Рунге-Кутти, поліноми Ньютона, екстраполяція

Анотація

У роботі розглядаються системи диференціальних рівнянь з запізнюванням, які є математичними моделями багатьох технічних процесів з запізнюванням у часі. Побудовано явний гібридний метод п’ятого порядку збіжності для систем диференціальних рівнянь з запізнюванням для змінного кроку чисельного інтегрування. Даний алгоритм розроблено на основі найбільш використовуваних явних методів Рунге-Кутти п’ятого порядку збіжності для звичайних систем диференціальних рівнянь та побудови поліномів Ньютона для передісторії моделі і формули Тейлора. Наведено основні принципи побудови таких явних гібридних методів вищих порядків збіжності. Отримана точна оцінка локальної похибки чисельного інтегрування даним методом.

Даний алгоритм дозволяє використання кроків чисельного інтегрування більших ніж величина запізнювання або процедур корегування величини кроку в залежності від похибки обчислень. Така задача чисельного інтегрування динамічних систем з запізнюванням виникає, коли проміжок часу досить великий порівняно з запізнюванням. Для чисельного інтегрування таких задач раніше застосовувались неявні неперервні методи Рунге-Кутти, що ускладнювали чисельний алгоритм, оскільки на кожному кроці чисельного інтегрування доводиться розв’язувати нелінійні системи рівнянь. Побудований нами явний гібридний метод для систем диференціальних рівнянь з запізнюванням зручний для програмування, має велику швидкість підрахунку чисельного розв'язку, порівняно з неявними методами для таких моделей задач. Також даний метод не має обмежень на величину запізнювання, на відміну від гібридних методів, що використовують розклад в ряд Тейлора по запізнюванню. Отриманий метод може бути використано для побудови карт динамічних режимів, при дослідженні на регулярну та хаотичну поведінку динамічних систем з запізнюванням.

 

Біографії авторів

Наталія Бондаренко , Київський національний університет будівництва і архітектури

к. ф.-м. н., доцент

Наталія Бондаренко , Київський національний університет будівництва і архітектури

к. ф.-м. н., доцент

Посилання

Література

Kyrychko Y.N., Hogan S.J. On the use of delay equations in engineering applications. Journal of Vibration and Control, Vol. 16 (7–8), 2010, P. 943 –960.

Gu K., Niculesc S.I. Survey on recent results in the stability and control of time-delay systems. ASME J Dyn Syst-T, V. 125, 2003, P. 158–165.

Bellen A., Zennaro M. Numerical Methods for Delay Differential Equations, Clarendon Press Oxford, 2003.

Gimeno J., Alquezar I. On time Delay Deferential Equations, Final project thesis master of advanced mathematics facultat de matematiques universitat de Barcelona, 2015.

Siregar B.H., Rangkuti Y.R., Mansyur A. Numerical Solution of Delayed SIR Model of Tuberculosis with Combination of Runge Kutta Method and Taylor Series Approach. Proceedings of The 5th Annual International Seminar on Trends in Science and Science Education, AISTSSE 2018, 18-19 October 2018, Medan, Indonesia.

Cimen E., Uncu S. On the Solution of the Delay Differential Equation via Laplace Transform. Communications in Mathematics and Applications, Vol. 13, No. 3, 2020, P. 284–304.

Guglielmi N, Hairer E. Computing breaking points in implicit delay differential equations. Advances in Computational Mathematics, Vol. 29 (3), 2008, P. 229-247.

Ibrahim F., Salama A.A., Quazzi A, Turek S. Extended One-Step Methods for Solving Delay-Differential Equations. Applied Mathematics & Information Sciences, Vol. 8 (7), 2014, P. 941-948.

Jaaffar N.T., Majid Z.A., Senu N. Numerical Approach for Solving Delay Differential Equations with Boundary Conditions, MDPI Mathematics, V. 8, 2020, P. 1-18.

Rebenda J., Smarda Z. Numerical algorithm for nonlinear delayed differential systems of nth order. Advances in Difference Equations, Vol. 26, 2019, P. 1-16.

Бондаренко Н.В., Печук В.Д. Моделювання динамічних систем з запізнюванням за допомогою узагальнених методів Рунге-Кутти. Прикладна геометрія та інженерна графіка, 2019. Випуск 96, С. 3-11.

Бондаренко Н.В., Печук В.Д. Побудова явних методів Рунге-Кутти для моделювання динамічних систем з запізнюванням. Прикладна геометрія та інженерна графіка, 2020. Випуск 99, С. 16-23.

Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296с.

E. Hairer, S.P. Nørsett, G. Wanner Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, 2nd ed., in Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 528 p., 1993.

Ильин М.И. Аппроксимация и интерполяция. Методы и приложения. Учебное пособие, Рязань, 2010. 56 с.

Reference

Kyrychko Y.N., Hogan S.J. On the use of delay equations in engineering applications. Journal of Vibration and Control, Vol. 16 (7–8), 2010, P. 943 –960. {in English}

Gu K., Niculesc S.I. Survey on recent results in the stability and control of time-delay systems. ASME J Dyn Syst-T, V. 125, 2003, P. 158–165. {in English}

Bellen A., Zennaro M. Numerical Methods for Delay Differential Equations, Clarendon Press Oxford, 2003. {in English}

Gimeno J., Alquezar I. On time Delay Deferential Equations, Final project thesis master of advanced mathematics facultat de matematiques universitat de Barcelona, 2015. {in English}

Siregar B.H., Rangkuti Y.R., Mansyur A. Numerical Solution of Delayed SIR Model of Tuberculosis with Combination of Runge Kutta Method and Taylor Series Approach. Proceedings of The 5th Annual International Seminar on Trends in Science and Science Education, AISTSSE 2018, 18-19 October 2018, Medan, Indonesia. {in English}

Cimen E., Uncu S. On the Solution of the Delay Differential Equation via Laplace Transform. Communications in Mathematics and Applications, Vol. 13, No. 3, 2020, P. 284–304. {in English}

Guglielmi N, Hairer E. Computing breaking points in implicit delay differential equations. Advances in Computational Mathematics, Vol. 29 (3), 2008, P. 229-247. {in English}

Ibrahim F., Salama A.A., Quazzi A, Turek S. Extended One-Step Methods for Solving Delay-Differential Equations. Applied Mathematics & Information Sciences, Vol. 8 (7), 2014, P. 941-948. {in English}

Jaaffar N.T., Majid Z.A., Senu N. Numerical Approach for Solving Delay Differential Equations with Boundary Conditions, MDPI Mathematics, V. 8, 2020, P. 1-18. {in English}

Rebenda J., Smarda Z. Numerical algorithm for nonlinear delayed differential systems of nth order. Advances in Difference Equations, Vol. 26, 2019, P. 1-16. {in English}

Bondarenko N.V., Pechuk V.D. Modeliuvannia dynamichnykh system z zapizniuvanniam za dopomohoiu uzahalnenykh metodiv Runhe-Kutty. Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika, 2019. Vypusk 96, S. 3-11. {in Ukranian}

Bondarenko N.V., Pechuk V.D. Pobudova yavnykh metodiv Runhe-Kutty dlia modeliuvannia dynamichnykh system z zapizniuvanniam. Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika, 2020. Vypusk 99, S. 16-23. {in Ukranian}

El'sgol'c L.E., Norkin S.B. Vvedenie v teoriyu differencial'nyh uravnenij s otklonyayushchimsya argumentom. M.: Nauka, 1971. 296s. {in Russian}

Hairer E., Nørsett S.P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, 2nd ed., in Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 528 p., 1993. {in English}

Il'in M.I. Approksimaciya i interpolyaciya. Metody i prilozheniya. Uchebnoe posobie, Ryazan', 2010. 56 s. {in Russian}

##submission.downloads##

Опубліковано

2021-12-20

Номер

Розділ

Статті