ПАРКЕТИ З ПРАВИЛЬНИХ П’ЯТИКУТНИХ ТА ДЕСЯТИКУТНИХ ЗІРОК

Анотація

Очевидно, що правильними п’ятикутниками не можна заповнити площину без накладень і пропусків. Однак площину можна заповнити без накладень та пропусків багатокутниками, кути яких є кратними 36°. Наприклад, якщо правильний п’ятикутник перетворити на правильну п’ятикутну зірку, складену з п’яти ромбів з кутами 72° та 108° і доповнити її п’ятьма ромбами з кутами 36° і 144°, щоб утворився правильний десятикутник, отриманими ромбами можна заповнити площину без накладень та пропусків.

Припущено, що, крім представленого способу замощення площини зазначеними вище ромбами, існують інші способи замощення площини без накладень і пропусків багатокутниками, кути яких є кратними 36°. Це пояснює, чому задача про замощення площини правильними п’ятикутниками привертає увагу не лише геометрів, а й дизайнерів, що створюють нові види орнаментів. Крім того, правильний п’ятикутник серед інших видів правильних багатокутників має найвищі естетичні якості, а паркети, складені з багатокутників, кути яких є кратними 36°, перевершують інші види паркету красою та досконалістю. Тому розроблення способів замощення площини без накладень та пропусків багатокутниками, кути яких є кратними 36°, є нагальним завданням як геометрів, так і дизайнерів, що створюють нові види орнаментів.

Вперше розроблено два варіанти паркету, складеного з ромбів, що утворюють п’ятикутні та десятикутні зірки. Якщо у першому варіанті центром паркету є п’ятикутна зірка, то у другому варіанті десятикутна зірка. Крім того, якщо у першому варіанті паркет не має жодної площини симетрії, то у другому варіанті паркет має двадцять площин симетрії. Ще однією відмінністю є те, що якщо у першому варіанті паркет має симетрію обертання з віссю симетрії 5-го порядку, то у другому варіанті - симетрію обертання з віссю симетрії 10-го порядку. Спільним для обох варіантів паркету є те, що вони належать неперіодичним паркетам, тобто є новими, не вивченими раніше видами мозаїки Пенроуза. Припущено, що подальші дослідження будуть спрямовані на винахід паркету, що не має ні симетрії переносу, ні симетрії обертання і водночас зберігає закономірність розташування плиток.