СХЕМА МУЛЬТИПЛІКАТИВНИХ ПРЕДСТАВЛЕНЬ ДЛЯ СТОХАСТИЧНОГО РІВНЯННЯ З ДВОМА ВІНЕРІВСЬКИМИ ПРОЦЕСАМИ

Анотація

В даній роботі розглядається стохастичне диференціальне рівняння  з двома незалежними вінерівськими процесами в нескінченновимірному гільбертовому просторі. Це рівняння може слугувати математичною моделлю динамічної системи при наявності кількох незалежних збурюючих випадкових факторів. Для дослідження властивостей цього рівняння використовується метод мультиплікативних представлень Далецького-Троттера. Цей метод застосовується як для детермінованих, так і для стохастичних рівнянь. Метод полягає в наступному: будують розбиття відрізку існування розв’язку [t₀, T] на елементарні [t_k+1, t_k]. На кожному елементарному відрізку розглядають еволюційний розрішаючий оператор повного рівняння S(t_k+1, t_k)), а також добуток розрішаючих операторів рівнянь, які є фрагментами повного рівняння U_k=Q_k×S_1k×S_2k

Таким чином порівнюють дві мультиплікативні сім’ї, які складаються з різних розрішаючих операторів. При виконанні умов еквівалентності, які перевірені в даній роботі, можна стверджувати, що розв’язок стохастичного рівняння в деякому розумінні можна представити як композицію відповідних розв’язків диференціальних рівнянь на елементарних відрізках, праві частини яких є знесення, і відповідно дифузії.

Причому для запровадження такої  мультиплікативної схеми у випадку кількох незалежних вінерівських процесів треба накласти додаткові вимоги щодо коефіцієнтів дифузії. А саме: коефіцієнти дифузії мають бути комутуючими операторами, неперервними за часом.

Схема мультиплікативних представлень базується на дослідженні властивостей еволюційних сімей розрішаючих операторів, а також їх оцінок в нормах відповідних просторів. При цьому для одержання певної оцінки розглядають кілька кроків ітерацій для відповідних рівнянь в гільбертовому просторі. Слід зазначити, що схема мультиплікативних представлень може бути інтерпретована як схема отримання наближеного розв’язку.