РОЗРАХУНОК ПЕРІОДИЧНОЇ ТРАЄКТОРІЇ ПЕРЕМІЩЕННЯ ВАНТАЖУ ХИТНОЇ ПРУЖИНИ
DOI:
https://doi.org/10.32347/0131-579X.2022.102.196-215Ключові слова:
маятникові коливання, періодичної траєкторії руху, хитна пружина, рівняння Лагранжа другого родуАнотація
Розглядаються маятникові коливання у вертикальній площині підвішеної невагомої пружини, зберігаючої при цьому прямолінійність своєї осі. В літературі такий вид маятника називають хитною пружиною (swinging spring). Шукана траєкторія вантажу хитної пружини за допомогою комп’ютера моделюється з використанням значень маси вантажу, жорсткості пружини та її довжини в ненавантаженому стані. Крім того, використовуються такі початкові величини параметрів ініціювання коливань хитної пружини: кут відхилення осі пружини від вертикалі, швидкість зміни величини цього кута, а також параметр подовження пружини та швидкість зміни подовження. Розрахунки виконано за допомогою рівняння Лагранжа другого роду. Також розглянуто варіанти знаходження періодичних траєкторій точкового вантажу хитної пружини з рухомою (вздовж координатних осей) точкою кріплення.
Актуальність теми визначається необхідністю дослідження та удосконалення нових технологічних схем механічних пристроїв, до складу яких входять пружини. Зокрема, дослідження умов відмежування від хаотичних коливань елементів механічних конструкцій та визначення раціональних значень параметрів для забезпечення періодичних траєкторій їх коливань.
Наведено спосіб знаходження значень набору параметрів для забезпечення нехаотичної періодичної траєкторії руху точкового вантажу хитної пружини. Ідею способу пояснено на прикладі знаходження періодичної траєкторії руху другого вантажу подвійного маятника.
Наведено варіанти розрахунків для одержання періодичних траєкторії руху вантажу, коли задані параметри:
– жорсткість пружини та її довжина без навантаження, але невідома величина маси вантажу;
– величина маси вантажу та довжина пружини без навантаження, але невідома жорсткість пружини;
– величина маси вантажу та жорсткість пружини, але невідома довжина пружини без навантаження.
Результати можна використати при вивченні нелінійних зв'язаних систем, а також при розрахунках варіантів механічних пристроїв, де пружини впливають на коливання їх елементів. А саме, коли при використання механічних пристроїв необхідно відмежуватися від хаотичних переміщень вантажів, а забезпечити періодичні траєкторії їх руху.
Посилання
Література
Energy distribution in intrinsically coupled systems: The spring pendulum paradigm / De Sousa M. C., Marcus F. A., Caldas I. L., Viana R. L. / Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2018. Vol. 509. P. 1110–1119. doi: https://doi.org/10.1016/j.physa.2018.06.089
Власов В. Н. Величайшая Революция в Механике 4. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001d/2114-vls.pdf
Булдакова Д. А., Кирюшин А. В. Модель качающегося пружинного маятника в истории физики и техники / Электронное научное издание «Ученые заметки ТОГУ». 2015. Т. 6, № 2. С. 238–243.
Lynch P. The swinging spring: a simple model for atmospheric balance. Large-Scale Atmosphere-Ocean Dynamics: Vol. II: Geometric Methods and Models. Cambridge University Press, Cambridge, 2001. 50 p.
Алдошин Г. Т., Яковлев С. П. Аналитическая модель колебаний молекулы углекислого газа. Резонанс Ферми / Изв. РАН. МТТ. 2015. № 1. С. 42–53.
Zhang P., Ren L., Li H., Jia Z., Jiang T. Control of Wind-Induced Vibration of Transmission Tower-Line System by Using a Spring Pendulum / Mathematical Problems in Engineering. 2015. Vol. 2015. P. 1–10. doi: https://doi.org/10.1155/2015/671632
Castillo-Rivera S., Tomas-Rodriguez M. Helicopter flap/lag energy exchange study // Nonlinear Dynamics. 2017. Vol. 88, Issue 4. P. 2933–2946. doi: https://doi.org/10.1007/s11071-017-3422-4
Богданов К. Ю. Хищник и жертва // Квант. 1993. № 2. URL: http://kvant.mccme.ru/1993/02/hishchnik_i_zhertva.htm
Gendelman O. V. Transition of Energy to a Nonlinear Localized Mode in a Highly Asymmetric System of Two Oscillators // Normal Modes and Localization in Nonlinear Systems. 2001. P. 237–253. doi: https://doi.org/10.1007/978-94-017-2452-4_13
Алдошин Г. Т. Замечания к методу линеаризации нелинейных уравнений с двумя степенями свободы / В сб. «Математика, информатика, естествознание в экономике и обществе». Труды международной научно-практической конференции. Т. 1. М.: МФЮФ, 2009.
Бубнович Э. В., Молдаганапова А. Г. К вопросу об исследовании резонансов при вынужденных взаимосвязанных колебаниях гибкой нити. URL: http://portal.kazntu.kz/files/publicate/%20Молдаганапова%20.pdf
Петров А. Г. О вынужденных колебаниях качающейся пружины при резонансе / Доклады Академии наук. 2015. Т. 464, № 5. С. 553–557. doi: https://doi.org/10.7868/s0869565215290113
Петров А. Г., Шундерюк М. М. О нелинейных колебаниях тяжелой материальной точки на пружине / Изв. РАН. МТТ. 2010. № 2. С. 27–40.
Bayly P. V., Virgin L. N. An Empirical Study of the Stability of Periodic Motion in the Forced Spring-Pendulum / Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 1993. Vol. 443, Issue 1918. P. 391–408. doi: https://doi.org/10.1098/rspa.1993.0152
Duka B., Duka R. On the elastic pendulum, parametric resonance and “pumping” swings / European Journal of Physics. 2018. doi: https://doi.org/10.1088/1361-6404/aaf146
Breitenberger E., Mueller R. D. The elastic pendulum: A nonlinear paradigm / Journal of Mathematical Physics. 1981. Vol. 22, Issue 6. P. 1196–1210. doi: https://doi.org/10.1063/1.525030
Dullin H., Giacobbe A., Cushman R. Monodromy in the resonant swing spring / Physica D: Nonlinear Phenomena. 2004. Vol. 190, Issue 1-2. P. 15–37. doi: https://doi.org/10.1016/j.physd.2003.10.004
Ryland G., Meirovitch L. Stability boundaries of a swinging spring with oscillating support / Journal of Sound and Vibration. 1977. Vol. 51, Issue 4. P. 547–560. doi: https://doi.org/10.1016/s0022-460x(77)80051-5
Holm D. D., Lynch P. Stepwise Precession of the Resonant Swinging Spring / SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2002. Vol. 1, Issue 1. P. 44–64. doi: https://doi.org/10.1137/s1111111101388571
Lynch P., Houghton C. Pulsation and precession of the resonant swinging spring / Physica D: Nonlinear Phenomena. 2004. Vol. 190, Issue 1-2. P. 38–62. doi: https://doi.org/10.1016/j.physd.2003.09.043
Клименко А. А., Михлин Ю. В. Нелинейная динамика пружинного маятника / Динамические системы. 2009. Вып. 27. С. 51–65.
Broucke R., Baxa P. A. Periodic solutions of a spring-pendulum system / Celestial Mechanics. 1973. Vol. 8, Issue 2. P. 261–267. doi: https://doi.org/10.1007/bf01231426
Hitzl D. L. The swinging spring invariant curves formed by quasi-periodic solution. III // Astron and Astrophys. 1975. Vol. 41, Issue 2. P. 187–198.
Моделирование движения двойного маятника в Декартовой системе координат. URL: https://www.wolfram.com/mathematica/new-in-9/advanced-hybrid-and-differential-algebraic-equations/double-pendulum.html
The Spring Pendulum (Optional). URL: http://homepage.math.uiowa.edu/~stroyan/CTLC3rdEd/ProjectsOldCD/estroyan/cd/46/index.htm
Gavin H. P. Generalized Coordinates, Lagrange’s Equations, and Constraints / CEE 541. Structural Dynamics. Department of Civil and Environmental Engineering Duke University, 2014. 23 p.
Van der Weele J. P., de Kleine E. The order-chaos-order sequence in the spring pendulum / Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 1996. Vol. 228, Issue 1-4. P. 245–272. doi: https://doi.org/10.1016/0378-4371(95)00426-2
File:Spring pendulum.gif. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Spring_pendulum.gif
Алдошин Г. Т., Яковлев С. П. Динамика качающейся пружины с подвижным подвесом / Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2012. Вып. 4. C. 45–52.
Semkiv O., Shoman O., Sukharkova E., Zhurilo A., Fedchenko H. Development of projection technique for determining the non-chaotic oscillation trajectories in the conservative pendulum systems / Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 2017. Vol. 2, Issue 4 (86). P. 48–57. doi: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2017.95764
Kutsenko L., Semkiv O., Asotskyi V., Zapolskiy L., Shoman O., Ismailova N. et. al. Geometric modeling of the unfolding of a rod structure in the form of a double spherical pendulum in weightlessness / Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 2018. Vol. 4, Issue 7 (94). P. 13–24. doi: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2018.139595
Куценко Л. М. Піксасов М. М., Запольський Л. Л. Ілюстрації до статті "Геометричне моделювання періодичної траєкторії вантажу хитної пружини". 2018. URL: http://repositsc.nuczu.edu.ua/handle/123456789/7637
References
De Sousa, M. C., Marcus, F. A., Caldas, I. L., Viana, R. L. (2018). Energy distribution in intrinsically coupled systems: The spring pendulum paradigm. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 509, 1110–1119. doi: https://doi.org/10.1016/j.physa.2018.06.089
Vlasov, V. N. Velichayshaya Revolyuciya v Mekhanike 4. Available at: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001d/2114-vls.pdf
Buldakova, D. A., Kiryushin, A. V. (2015). Model of the shaking spring pendulum in the history of physics and equipment. Elektronnoe nauchnoe izdanie «Uchenye zametki TOGU», 6 (2), 238–243.
Lynch, P. (2001). The swinging spring: a simple model for atmospheric balance. Large-Scale Atmosphere-Ocean Dynamics: Vol. II: Geometric Methods and Models. Cambridge University Press, Cambridge, 50.
Aldoshin, G. T., Yakovlev, S. P. (2015). Analiticheskaya model' kolebaniy molekuly uglekislogo gaza. Rezonans Fermi. Izv. RAN. MTT, 1, 42–53.
Zhang, P., Ren, L., Li, H., Jia, Z., Jiang, T. (2015). Control of Wind-Induced Vibration of Transmission Tower-Line System by Using a Spring Pendulum. Mathematical Problems in Engineering, 2015, 1–10. doi: https://doi.org/10.1155/2015/671632
Castillo-Rivera, S., Tomas-Rodriguez, M. (2017). Helicopter flap/lag energy exchange study. Nonlinear Dynamics, 88 (4), 2933–2946. doi: https://doi.org/10.1007/s11071-017-3422-4
Bogdanov, K. Yu. (1993). Hishchnik i zhertva. Kvant, 2. Available at: http://kvant.mccme.ru/1993/02/hishchnik_i_zhertva.htm
Gendelman, O. V. (2001). Transition of Energy to a Nonlinear Localized Mode in a Highly Asymmetric System of Two Oscillators. Normal Modes and Localization in Nonlinear Systems, 237–253. doi: https://doi.org/10.1007/978-94-017-2452-4_13
Aldoshin, G. T. (2009). Zamechaniya k metodu linearizacii nelineynyh uravneniy s dvumya stepenyami svobody. V sb. «Matematika, informatika, estestvoznanie v ekonomike i obshchestve». Trudy mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferencii. Vol. 1. Moscow: MFYUF.
Bubnovich, E. V., Moldaganapova, A. G. K voprosu ob issledovanii rezonansov pri vynuzhdennyh vzaimosvyazannyh kolebaniyah gibkoy niti. Available at: http://portal.kazntu.kz/files/publicate/%20Молдаганапова%20.pdf
Petrov, A. G. (2015). O vynuzhdennyh kolebaniyah kachayushcheysya pruzhiny pri rezonanse. Doklady Akademii nauk, 464 (5), 553–557. doi: https://doi.org/10.7868/s0869565215290113
Petrov, A. G., Shunderyuk, M. M. (2010). O nelineynyh kolebaniyah tyazheloy material'noy tochki na pruzhine. Izv. RAN. MTT, 2, 27–40.
Bayly, P. V., Virgin, L. N. (1993). An Empirical Study of the Stability of Periodic Motion in the Forced Spring-Pendulum. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 443 (1918), 391–408. doi: https://doi.org/10.1098/rspa.1993.0152
Duka, B., Duka, R. (2018). On the elastic pendulum, parametric resonance and “pumping” swings. European Journal of Physics. 2018. doi: https://doi.org/10.1088/1361-6404/aaf146
Breitenberger, E., Mueller, R. D. (1981). The elastic pendulum: A nonlinear paradigm. Journal of Mathematical Physics, 22 (6), 1196–1210. doi: https://doi.org/10.1063/1.525030
Dullin, H., Giacobbe, A., Cushman, R. (2004). Monodromy in the resonant swing spring. Physica D: Nonlinear Phenomena, 190 (1-2), 15–37. doi: https://doi.org/10.1016/j.physd.2003.10.004
Ryland, G., Meirovitch, L. (1977). Stability boundaries of a swinging spring with oscillating support. Journal of Sound and Vibration, 51 (4), 547–560. doi: https://doi.org/10.1016/s0022-460x(77)80051-5
Holm, D. D., Lynch, P. (2002). Stepwise Precession of the Resonant Swinging Spring. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 1 (1), 44–64. doi: https://doi.org/10.1137/s1111111101388571
Lynch, P., Houghton, C. (2004). Pulsation and precession of the resonant swinging spring. Physica D: Nonlinear Phenomena, 190 (1-2), 38–62. doi: https://doi.org/10.1016/j.physd.2003.09.043
Klimenko, A. A., Mihlin, Yu. V. (2009). Nelineynaya dinamika pruzhinnogo mayatnika. Dinamicheskie sistemy, 27, 51–65.
Broucke, R., Baxa, P. A. (1973). Periodic solutions of a spring-pendulum system. Celestial Mechanics, 8 (2), 261–267. doi: https://doi.org/10.1007/bf01231426
Hitzl, D. L. (1975). The swinging spring invariant curves formed by quasi-periodic solution. III. Astron and Astrophys, 41 (2), 187–198.
Modelirovanie dvizheniya dvoynogo mayatnika v Dekartovoy sisteme koordinat. Available at: https://www.wolfram.com/mathematica/new-in-9/advanced-hybrid-and-differential-algebraic-equations/double-pendulum.html
The Spring Pendulum (Optional). Available at: http://homepage.math.uiowa.edu/~stroyan/CTLC3rdEd/ProjectsOldCD/estroyan/cd/46/index.htm
Gavin, H. P. (2014). Generalized Coordinates, Lagrange’s Equations, and Constraints. CEE 541. Structural Dynamics. Department of Civil and Environmental Engineering Duke University, 23.
Van der Weele, J. P., de Kleine, E. (1996). The order-chaos-order sequence in the spring pendulum. Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications, 228 (1-4), 245–272. doi: https://doi.org/10.1016/0378-4371(95)00426-2
File:Spring pendulum.gif. Available at: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Spring_pendulum.gif
Aldoshin, G. T., Yakovlev, S. P. (2012). Dynamics of a swinging spring with moving support. Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika. Astronomiya, 4, 45–52.
Semkiv, O., Shoman, O., Sukharkova, E., Zhurilo, A., Fedchenko, H. (2017). Development of projection technique for determining the non-chaotic oscillation trajectories in the conservative pendulum systems. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 2 (4 (86)), 48–57. doi: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2017.95764
Kutsenko, L., Semkiv, O., Asotskyi, V., Zapolskiy, L., Shoman, O., Ismailova, N. et. al. (2018). Geometric modeling of the unfolding of a rod structure in the form of a double spherical pendulum in weightlessness. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 4 (7 (94)), 13–24. doi: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2018.139595
Kutsenko, L. M. Piksasov, M. M., Zapolskyi, L. L. (2018). Iliustratsiyi do statti "Heometrychne modeliuvannia periodychnoi traiektoriyi vantazhu khytnoi pruzhyny". Available at: http://repositsc.nuczu.edu.ua/handle/123456789/7637
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2022 Шоман Ольга, Адашевська Ірина, Шеліхова Інесса, Сівак Єлизавета, Даниленко Володимир
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
