ГЕОМЕТРИЧНИЙ ПІДХІД ДО ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ІЗ ЗАПІЗНЮВАННЯМ У ЧАСІ

Анотація

У роботі розглядаються лінійні системи диференціальних рівнянь із запізнюванням у часі, які є математичними моделями динамічних систем, що виникають в різних областях механіки. Затримки можуть бути у системах зі змінною жорсткістю або з деформацією, у системах із складними динамічними взаємодіями, наприклад, в гідродинаміці або в рухомих механізмах. Наявність затримок у часі в динамічних системах зумовлює досить складну поведінку розв’язку і впливає на стійкість таких систем. Розглянуто геометричний підхід до вивчення стійкості лінійних систем диференціальних рівнянь з двома параметрами затримки, який називається методом -розкладу Lee та Hsu. Цей метод дозволяє вивчати вплив відхилень затримок часу на стійкість динамічних систем із запізнюванням. Ідея цього методу полягає в побудові кривої стійкості в просторі параметрів затримок, яка розбиває простір параметрів на області стійкості. Нетривіальним є випадок, коли характеристичний квазіполіном лінійної системи із запізнюванням має комплексний корінь  на уявній осі кратності два. Корені характеристичного квазіполінома, як неявна функція  двох змінних - параметрів  та , не є диференційовною в точці . В цьому випадку крива стійкості має загострення в точці, що відповідає комплексному кореню на уявній осі кратності два та розбиває простір параметрів на G-сектор та S-сектор. Відомо, що є взаємно однозначна відповідність між околами точки загострення в просторі параметрів та околом комплексного кореня кратності два характеристичного квазіполінома, що лежить на уявній осі. Це дозволяє вивчати поведінку переміщення комплексних коренів на комплексній площині при відхиленні параметрів затримок, а отже, аналізувати зміну стійкості системи із запізнюванням.

Геометричний підхід до дослідження переміщення комплексних коренів на комплексній площині характеристичного квазіполінома системи із запізнюванням при відхиленні параметрів запізнювання, застосований для системи двох диференціальних рівнянь з двома затримками у часі. Характеристичний квазіполіном розглянутої системи має комплексний корінь  на уявній осі кратності два при певних значеннях параметрів. Побудована локальна крива стійкості такої системи, визначені S-сектор та G-сектор в просторі параметрів. Показано, що при переміщенні значень параметрів затримок в S-сектор, корені в околі точки  переміщуються в ліву півплощину комплексної площини. Таким чином, встановлено, при яких відхиленнях параметрів затримок від точки, що відповідає кореню , задана система буде стійкою.