КІНЕМАТИЧНИЙ ГВИНТ ТРИГРАННИКА ДАРБУ

Анотація

У теорії внутрішньої геометрії поверхонь важливу роль відіграють тригранники Френе і Дарбу. Перший стосується кривої, другий – поверхні. У тригранника Дарбу один із ортів є нормаллю до поверхні, а два інші утворюють дотичну до поверхні площину. Якщо на поверхні задати криву лінію, то тригранник Дарбу може бути для неї супровідним. При русі тригранника вздовж кривої один із його ортів, які утворюють дотичну площину, буде дотичним до кривої. Положення тригранника в кожен момент часу описується однозначно і залежить від параметрів поверхні і кривої на ній. Отже його рух можна розглядати, як рух твердого тіла. Тригранник Дарбу одночасно здійснює два переміщення: поворот навколо миттєвої осі обертання, величина якого залежить від кривини кривої на поверхні, і лінійне переміщення в напрямі орта дотичної. Для відносно невеликої дуги кривої на поверхні переміщення тригранника із положення на початку дуги до положення на кінці дуги можна здійснити почергово двома рухами: поворотом навколо миттєвої осі обертання і прямолінійним ковзанням в напрямі дотичної. На невеликій ділянці кривої можна прийняти кутову швидкість обертання і лінійну швидкість ковзання сталими і знайти чисельні значення цих переміщень. Однак переміщення із початкового в кінцеве положення можна здійснити гвинтовим рухом, тобто одночасним поворотом навколо осі і ковзанням вздовж цієї осі. Ця вісь називається миттєвою віссю обертання і ковзання або кінематичним гвинтом.

Напрям кінематичного гвинта такий же, як і в миттєвої осі обертання, яка проходить через вершину тригранника, а положення в його системі інше. В окремих випадках ковзання тригранника може бути відсутнім, тоді кінематичний гвинт стає миттєвою віссю обертання. Це показано на простому прикладі, коли поверхнею є площина і тригранник рухається по кривій у цій площині. В такому випадку миттевою віссю обертання тригранника є вектор, паралельний орту нормалі і зміщений в сторону кривини кривої на величину, оберенену кривині, тобто він проходить через центр кривини кривої. Якщо кривою є коло, то миттєвою віссю обертання тригранника є вектор, який займає постійне положення в центрі кола і вектор Дарбу обертається навколо цього вектора, рухаючись по колу. В статті знайдено положення кінематичного гвинта в загальному випадку, коли крива на поверхні є просторовою. Показано, що чисто обертальний рух тригранника відбувається, коли він рухається по лінії кривини поверхні.