ДОСЛІДЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНОЇ СТРУКТУРИ ФАЗОВИХ ПОТОКІВ ДИНАМІЧНОЇ СИСТЕМИ З ХАОТИЧНОЮ ПОВЕДІНКОЮ

Анотація

В статті досліджується геометрична структура фазових потоків динамічної системи, математична модель якої представляється системою нелінійних диференціальних рівнянь. Дослідження проводились на прикладі системи рівнянь Лоренца з використанням теорії стійкості Ляпунова для точок рівноваги системи та чисельного інтегрування з застосуванням системи MATLAB. На першому етапі досліджень шляхом розв’язку системи нелінійних рівнянь при нульових значеннях похідних були знайдені координати трьох точок рівноваги. Використання лінеаризації в точках рівноваги дозволило зробити якісну оцінку процесів, що відбуваються в нелінійній системі. За коренями характеристичних рівнянь матриці коефіцієнтів лінеаризованої системи визначені локальні напрямки стискання та розтягування фазового об’єму у фазовому просторі системи поблизу кожної зі знайдених точок рівноваги. Чисельними методами інтегрування були побудовані фазові криві у тривимірному фазовому просторі системи при різних початкових умовах поблизу кожної з точок рівноваги, що дозволяє провести аналіз фазових портретів, виокремити узагальнену структуру фазових потоків в координатах лінеаризованої системи та визначити їх положення у відповідності до системи координат нелінійної системи. Побудовані фазові портрети у тривимірному фазовому просторі нелінійної системи при різних початкових умовах. Розглянуті перехідні процеси дають можливість оцінити вплив точок рівноваги та хаотичного атрактора на траєкторію фазових кривих. Результати дослідження геометричної структури фазових потоків системи в режимі детермінованого хаосу дають простір для оптимізації вибору початкових умов функціонування системи.

Дослідження фазового простору систем з хаотичною поведінкою дозволить більш ефективно використовувати властивості детермінованого хаосу, зокрема шумоподібні властивості вихідних сигналів, в прикладних задачах.