УНІВЕРСАЛЬНИЙ АЛГОРИТМ ОЦІНКИ СТАРШОГО ПОКАЗНИКА ЛЯПУНОВА В ДИСИПАТИВНІЙ ДИНАМІЧНІЙ СИСТЕМІ

Анотація

При дослідженні динамічних систем часто виникає необхідність в кількісній оцінці ступеня хаотизації динамічного режиму, що реалізується в системі. На практиці для цього використовують експоненту Ляпунова –старший показник Ляпунова, що обчислюється чисельно за допомогою відомого алгоритму Беннеттіна. Наявність додатного старшого показника Ляпунова в системі вказує на швидке розбігання двох близьких траєкторій з плином часу та на чутливість до початкових значень. Алгоритм Беннеттіна добре працює і був використаний розробниками лише для консервативних систем. В наших попередніх роботах цей алгоритм було модифіковано для дисипативних систем. Однак у випадку коли геометрія атрактору системи є складною, з великою кількістю збігань та розбігань траєкторії, алгоритм Беннеттіна дає некоректно малі значення показника. Це насамперед пов’язано з тим, що проміжки зближення траєкторій враховуються алгоритмом зі знаком мінус, що зменшує остаточний результат обчислення і призводить до значної похибки такої оцінки. За визначенням, хаотичний атрактор, як і взагалі будь-який атрактор в дисипативній динамічній системі, є обмеженою множиною точок у фазовому просторі динамічної системи, що свідчить про обов’язкове зближення зображуючих точок на ньому. В даній роботі запропоновано модифікацію алгоритму Беннеттіна, що дозволяє враховувати описану вище особливість атракторів дисипативних динамічних систем. Новий алгоритм дозволяє збільшити точність розрахунків та розширити область застосування зазначеного методу. Цей універсальний алгоритм застосовано до математичної моделі, що описує генерацію хрестоподібних хвиль в прямокутному басейні скінченних розмірів. Показано переваги алгоритму порівняно з класичним алгоритмом Беннеттіна.