ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДІВ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ГЕОМЕТРІЇ ДО ПОВІЛЬНО-ШВИДКИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ
DOI:
https://doi.org/10.32347/0131-579X.2024.106.27-40Ключові слова:
повільно-швидка динамічна система; повільний многовид; кривина кривої; метод кривини потоку; метод геометричного сингулярного збурення.Анотація
У роботі розглядаються повільно-швидкі автономні двовимірні динамічні системи. Повільно-швидкі динамічні системи описують різні фізичні, механічні та інші явища, в яких поступове еволюційне накопичення малих змін з часом приводить до скачкоподібного переходу системи на новий динамічний режим. Дослідження повільно-швидких динамічних систем пов’язане зі знаходженням аналітичного рівняння повільного інваріантного многовиду, тобто многовиду, де фазові траєкторії системи змінюються повільно. Це обумовлено тим, що траєкторія повільного многовиду розбиває фазовий простір динамічної системи на повільні та швидкі області, тобто області, де динаміка системи сповільнюється та відповідно прискорюється. У роботі розглядаються геометричні підходи до знаходження повільного многовиду таких систем, які дозволяють досить просто записувати аналітичне рівняння повільного многовиду. Метод кривини потоку ґрунтується на використанні понять та методів диференціальної геометрії та механіки. Використання поняття кривини кривої дозволяє визначати аналітичне рівняння повільного многовиду незалежно від «повільних власних значень» системи. Застосовано метод кривини потоку до повільно-швидкої динамічної системи. Визначено аналітичне рівняння повільного многовиду розглядуваної системи та повільну і швидку області фазового простору. Встановлено, що рівняння повільного інваріантного многовиду динамічної системи, отримані методом кривини потоку та методом геометричного сингулярного збурення, повністю ідентичні в першому порядку наближення за малим параметром .
Посилання
Bonet C., Jeffrey M.R., Martín P. Olm J.M. Novel slow–fast behaviour in an oscillator driven by a frequency-switching force, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Vol. 118, 2023, P. 122.
Righetti L., Buchli J, Ijspeert A.J. Slow-fast dynamics of strongly coupled adaptive frequency oscillators, SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, Vol. 20(4), 2021, P. 19852012.
Chen B., Miller P. Attractor-state itinerancy in neural circuits with synaptic depression. J. Math. Neurosci., 2020, P. 1015.
Fenichel N. Persistence and smoothness of invariant manifolds for flows, Ind. Univ. Math. J. Vol. 21, 1971, P. 193–225.
Fenichel N. Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations, J. Diff. Eq. Vol. 31, 1979, P. 53–98.
Hirsch M.W., Pugh C. C. Shub, M. Invariant Manifolds, Springer-Verlag, New York, 1977.
Rossetto B., Lenzini T., Ramdani S., Suchey G. Slow-fast autonomous dynamical systems, Int. J. Bifurcation and Chaos 8, 1998, P. 2135–2145.
O’Malley R.E. Introduction to Singular Perturbations, Academic Press, New York, 1974.
O’Malley R.E. Singular Perturbation Methods for Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1991.
Verhulst F., Bakri T. The dynamics of slow manifold, Journal of the Indonesian Mathematical Society , Vol. 13(1), 2007, P.73-90.
Ginoux J.M., Rossetto B. Differential geometry and mechanics applications to chaotic dynamical systems, International Journal of Bifurcation & Chaos, Vol. 4(16), 2006, P. 887–910.
Ginoux J.M., Rossetto B. Chua L O. Slow invariant manifolds as curvature of the flow of dynamical systems, International Journal of Bifurcation & Chaos, Vol. 11(18), 2008, P. 3409–3430.
Rossetto B., Lenzini T., Ramdani S., Suchey G. Slow fast autonomous dynamical systems, International Journal of Bifurcation & Chaos Vol. 8(11), 1998, P. 2135–2145.
Gear C.W., Kaper T.J., Kevrekidis I.G., Zagaris A. Projecting to a slow manifold: singularly perturbed systems and legacy codes, SIAM J. Applied Dynamical Systems, Mathematics, Vol. 4(3), 2005, P. 711–732.
Fenichel N. Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations, J. Diff. Eq. Vol. 31, 1979, P. 53–98.
Guckenheimer J., Hoffman K., Weckesser W. Numerical Computation of Canards, International Journal of Bifurcation & Chaos, Vol. 10(12), 2000, P. 2669–2687.
Бондаренко Н.В., Соколова Л.В., Отрашевська В.В. Геометричний підхід до дослідження стійкості динамічних систем із запізнюванням у часі. Прикладна геометрія та інженерна графіка, 2023. Випуск 104, С. 16-29.
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
