ДОСЛІДЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНОЇ СТРУКТУРИ ФАЗОВИХ ПОТОКІВ СИСТЕМИ РЕССЛЕРА
DOI:
https://doi.org/10.32347/0131-579X.2024.106.82-95Ключові слова:
динамічні системи; хаотична динаміка; атрактор; фазовий простір; фрактальна геометріяАнотація
В статті досліджується геометрична структура фазових потоків динамічної системи Ресслера, математична модель якої представлена системою нелінійних диференціальних рівнянь. При певних значеннях керуючих параметрів система Ресслера демонструє хаотичну поведінку. В статті аналізується вплив точок рівноваги системи на процес переходу до хаотичного атрактора та досліджується формування його геометричної структури. Дослідження проводились з використанням теорії стійкості Ляпунова для точок рівноваги системи. В процесі досліджень були віднайдені точки рівноваги системи та проведено їх аналіз на стійкість. Використання методу лінеаризації у визначених точках рівноваги системи дозволило зробити якісну оцінку поведінки системи. Проаналізовано напрямки стискання та розтягування об’ємів фазового простору в околі кожної з отриманих точок рівноваги, що дозволило визначити передумови процесу переходу до хаотичного атрактора та виокремити області початкових умов, при яких фазові траєкторії спрямовуються на хаотичний атрактор або відходять від нього. Розглянуто формування геометричної структури атрактора як результат сукупної взаємодії деформацій фазового об’єму, викликаного точками рівноваги системи. Оскільки в процесі дослідження системи Ресслера аналітичного рішення не було знайдено, використовувались чисельні методи інтегрування. Математичні обчислення проводились із застосуванням пакету для інженерних та наукових розрахунків MATLAB. В результаті проведення серії інтегрувань були побудовані фазові портрети системи Ресслера у тривимірному фазовому просторі для різних початкових умов. Таким чином, були візуалізовані перехідні процеси в системі, що дозволило визначити характерні області початкових умов та оптимізувати їх вибір.
Проведені дослідження є продовженням роботи [1] і направлені на більш широке використання властивостей детермінованого хаосу в прикладних задачах.
Посилання
Література
Гнітецька Т.В., Гнітецька Г.О., Бондаренко Ю.В., Губар О.В. «Дослідження геометричної структури фазових потоків динамічної системи з хаотичною поведінкою» / Прикладна геометрія та інженерна графіка, No105, С. 81 - 93. 2024 doi: 10.32347/0131-579X.2023.105.81-93
Ibrahim K.M. et al., «Chaotic behaviour of the Rossler model and its analysis by using bifurcations of limit cycles and chaotic attractors» J. Phys.: Conf. Ser.1003 012099, 2018, doi :10.1088/1742-6596/1003/1/012099
Слободян М.О., Таранчук А.А., Гавронський В.Є. «Генерування широкосмугових хаотичних сигналів для прихованої передачі інформації в телекомунікаційних системах» / Вісник Хмельницького національного університету. Технічні науки Том 1, №4, (287). С 192-198. 2020. doi:10.31891/2307-5732-2020-287-4-192-198
Свинчук О.В., Барабаш О.В., та. Олімпієва Ю.І, Ільїн «Застосування фрактальних функцій для шифрування даних в системах захисту інформації» / Телекомунікаційні та інформаційні технології. No 1(66) C.15-24 2020 doi:10.31673/2412-4338.2020.011524
Гнітецька Т.В. «Дослідження можливості використання гідравлічного випромінювача для передачі складних хаотичних сигналів з фрактальною будовою атрактора для кодування інформації» / Прикладна геометрія та інженерна графіка. Праці Таврійський державний агротехнологічний університет. Т. 52. Вип .4. C.134-139. 2012.
Бобало Ю.Я., Галюк С.Д., Климаш М.М., Політанський Р.Л. Прикладне застосування теорії хаотичних систем у телекомунікаціях : монографія [Technical sciences ISSN 2307-5732] ; Нац. ун-т «Львів. політехніка». Львів : Коло, 2015. 178 c.
Мар’єнко Н.І., Степаненко О.Ю. «Фрактальний аналіз зображень у медицині та морфології: базові принципи та основні методики» / Morphologia. Том 15 No 3, С.196-206. 2021. doi: 10.26641/1997-9665.2021.3.196-206
Sandau K, Kurz H: «Modelling of vascular growth processes: a stochastic biophysical approach to embryonic angiogenesis» J Microsc ,V 175 pp. 205-213. 1994.
Щекань Н.П., Геометричні та алгебраїчні фрактальні методи в інформаційних технологіях обробки і аналізу потоків данних. (2024 18 квітня) [Електронний ресурс]. Доступно: https://ir.kneu.edu.ua/server/api/core/bitstreams/6d5332d1-7cbe-406f-b47a-2107887dc4c1/content
Marius-F. Danca, N.V. Kuznetsov. «Matlab code for Lyapunov exponents of fractional order systems» / International Journal of Bifurcation and Chaos. Vol. 28, No. 05, 1850067. – 14 p. 2018.
Хусаїнов Д. Я., Шатирко А. В. Основи нелінійної динаміки: Посібник для студентів спеціальності «Прикладна математика». Київ : Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет", 2017. 159 с.
Referenses
Hnitetska T.V., Hnitetska H.O., Bondarenko Yu.V., Hubar O.V. Doslidzhennia heometrychnoi struktury fazovykh potokiv dynamichnoi systemy z khaotychnoiu povedinkoiu / Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika, No 105, pp. 81 - 93. 2024 doi: 10.32347/0131-579X.2023.105.81-93 {in Ukranian}
Ibrahim K.M. et al., Chaotic behaviour of the Rossler model and its analysis by using bifurcations of limit cycles and chaotic attractors J. Phys.: Conf. Ser.1003 012099, 2018, doi :10.1088/1742-6596/1003/1/012099 {in English}
Slobodian M.O., Taranchuk A.A., Havronskyi V.Ie. Heneruvannia shyrokosmuhovykh khaotychnykh syhnaliv dlia prykhovanoi peredachi informatsii v telekomunikatsiinykh systemakh / Visnyk Khmelnytskoho natsionalnoho universytetu. Tekhnichni nauky. Vol. 1, №4, (287). pp 192-198. 2020. doi:10.31891/2307-5732-2020-287-4-192-198 {in Ukranian}
Svynchuk O.V., Barabash O.V., ta Olimpiieva Yu.I., Iu.Ilin O. Zastosuvannia fraktalnykh funktsii dlia shyfruvannia danykh v systemakh zakhystu informatsii / Telekomunikatsiini ta informatsiini tekhnolohii No 1(66) pp.15-24 2020 doi:10.31673/2412-4338.2020.011524 {in Ukranian}
Hnitetska T.V. Doslidzhennia mozhlyvosti vykorystannia hidravlichnoho vyprominiuvacha dlia peredachi skladnykh khaotychnykh syhnaliv z fraktalnoiu budovoiu atraktora dlia koduvannia informatsii / Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika. Pratsi/ Tavriiskyi derzhavnyi ahrotekhnolohichnyi universytet, t.52. №..4. pp.134-139. 2012. {in Ukranian}
Bobalo Iu.Ia., Haliuk S.D., Klymash M.M., Politanskyi R.L. Prykladne zastosuvannia teorii khaotychnykh system u telekomunikatsiiakh : monohrafiia. [Technical sciences ISSN 2307-5732] ; Nats. un-t «Lviv. politekhnika». – Lviv : Kolo, 2015. – 178 c. {in Ukranian}
Marienko N.I., Stepanenko O.Iu. Fraktalnyi analiz zobrazhen u medytsyni ta morfolohii: bazovi pryntsypy ta osnovni metodyky / Morphologia. Tom 15. No 3, S.196-206. 2021. doi: 10.26641/1997-9665.2021.3.196-206{in Ukranian}
Sandau K, Kurz H: Modelling of vascular growth processes: a stochastic biophysical approach to embryonic angiogenesis / J Microsc ,V 175 pp.205-213. 1994. {in English}
Shchekan N.P., Heometrychni ta alhebraichni fraktalni metody v informatsiinykh tekhnolohiiakh obrobky i analizu potokiv dannykh. (2024 18 April) [Online]. Available : https://ir.kneu.edu.ua/server/api/core/bitstreams/6d5332d1-7cbe-406f-b47a-2107887dc4c1/content {in Ukranian}
Marius-F. Danca, N.V. Kuznetsov. Matlab code for Lyapunov exponents of fractional order systems / International Journal of Bifurcation and Chaos. Vol. 28, No. 05, 1850067. – 14 p. 2018. {in English}
Khusainov D. Ya., Shatyrko A. V., Osnovy neliniinoi dynamiky: Posibnyk dlia studentiv spetsialnosti "Prykladna matematyka" K.: Vydavnycho-polihrafichnyi tsentr "Kyivskyi universytet", 2017. 159 s. {in Ukranian}.
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
![Creative Commons License](http://i.creativecommons.org/l/by/4.0/88x31.png)
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).