ДОСЛІДЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНОЇ СТРУКТУРИ ФАЗОВИХ ПОТОКІВ СИСТЕМИ РЕССЛЕРА

Анотація

В статті досліджується геометрична структура фазових потоків динамічної системи Ресслера, математична модель якої представлена системою нелінійних диференціальних рівнянь. При певних значеннях керуючих параметрів система Ресслера демонструє хаотичну поведінку. В статті аналізується вплив точок рівноваги системи на процес переходу до хаотичного атрактора та досліджується формування його геометричної структури. Дослідження проводились з використанням теорії стійкості Ляпунова для точок рівноваги системи. В процесі досліджень були віднайдені точки рівноваги системи та проведено їх аналіз на стійкість. Використання методу лінеаризації у визначених точках рівноваги системи дозволило зробити якісну оцінку поведінки системи. Проаналізовано напрямки стискання та розтягування об’ємів фазового простору в околі кожної з отриманих точок рівноваги, що дозволило визначити передумови процесу переходу до хаотичного атрактора та виокремити області початкових умов, при яких фазові траєкторії спрямовуються на хаотичний атрактор або відходять від нього. Розглянуто формування геометричної структури атрактора як результат сукупної взаємодії деформацій фазового об’єму, викликаного точками рівноваги системи. Оскільки в процесі дослідження системи Ресслера аналітичного рішення не було знайдено, використовувались чисельні методи інтегрування. Математичні обчислення проводились із застосуванням пакету для інженерних та наукових розрахунків MATLAB. В результаті проведення серії інтегрувань були побудовані фазові портрети системи Ресслера у тривимірному фазовому просторі для різних початкових умов. Таким чином, були візуалізовані перехідні процеси в системі, що дозволило визначити характерні області початкових умов та оптимізувати їх вибір.

Проведені дослідження є продовженням роботи [1] і направлені на більш широке використання властивостей детермінованого хаосу в прикладних задачах.