МАЛІ ВИПАДКОВІ ЗБУРЕННЯ РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

Анотація

У даній роботі розглядається рівняння теплопровідності з малим випадковим збуренням. Таке рівняння при деяких припущеннях може бути інтерпретоване як математична модель реального процесу передачі тепла в випадково неоднорідному середовищі. Нехай u (t, x) температура деякого тіла в момент часу t в точці з узагальненою координатою x. Тобто розподіл температур і є неперервною функцією від х. Будемо розглядати цю функцію, як елемент гільбертова нескінченно вимірного простору Н. Це можливо, якщо, наприклад, ввести відповідну норму. Більш того, якщо розглядати простір Соболева з відповідною нормою, то можна врахувати і граничні умови. Але в цій роботі ми обмежимось задачею з початковими умовами, тобто задачею Коші в відповідному просторі. Таким чином рівняння теплопровідності можна розглядати, як рівняння з необмеженим оператором A(t) в гільбертовому просторі Н з областю визначення щільно вкладеною в цей гільбертів простір причому  не залежить від t. Теорія детермінованих рівняь такого типу розвинена в роботах [1], [2]. Там же розглянуті властивості еволюційних операторних сімей в залежності від розташування відповідної резольвенти оператора A(t). Саме оцінка в нормі гільбертового простору є ключовою при доведенні існування єдиного розв’язку стохастичного диференціального рівняння з необмеженим оператором знесення в формі Іто. Мале випадкове збурення такого рівняння можливо описувати в деяких випадках, як стохастичне диференціальне рівняння типу Іто з необмеженим знесенням і малим параметром при дифузійному члені. Стохастичне диференціальне рівняння з малим збуренням при дифузійному члені розглядається за допомогою стандартної методології розкладу в ряд по малому параметру. Для стохастичного рівняння з обмеженим нелінійним коефіцієнтом знесення в просторі це було зроблено в [3]  При виконанні стандартних умов існування єдиного розв’язку рівняння Іто в роботі отримані в явному вигляді функції, що є відповідними наближеннями розкладу розв’язку рівняння в ряд по степеням малого параметра. Дана оцінка залишкового члена цього ряду. При цьому всі оцінки отримані в середньому квадратичному в відповідних нормах гільбертового простору.