СФЕРИЧНИЙ АНАЛОГ ЦИКЛОЇДИ

Анотація

У сфери і площини є певні властивості, які їх об’єднують. У них Гауссова кривина у всіх точках стала: для сфери має додатне значення, а для площини – нульове. У зв’язку із цим всі плоскі фігури можуть ковзати у площині, а сферичні – по поверхні сфери. Зображення, побудоване на обмеженій ділянці сфери може наближатися до плоского при необмеженому зростанні її радіуса. Цю ідею використовував відомий вчений-механік В.В. Добровольський для проведення аналогії між плоскими і сферичними механізмами. Вчений-математик, швейцарець за походженням Л.І. Фусс досліджував прообраз еліпса на сфері, який в його працях отримав назву «сферичний еліпс». Прообразом прямої на площині на сфері є велике її коло, тобто коло, яке проходить через її діаметр. Якщо пряма на площшині незамкнена, то на сфері – замкнена. У своїх працях В.В. Добровольський дає визначення сферичним аналогам деяких плоских фігур – трикутника, чотирикутника, паралелограма. Він широко використовував стереографічну проекцію, яка дозволяє перетворювати плоскі зображення у сферичні із збереженням певних властивостей.

Як відомо, циклоїда на площині утворюється слідом точки кола, яке котиться по прямій лінії. Отже, сферичним прообразом циклоїди має бути сферична крива, яка є слідом кочення кола по великому колу сфери. Ідея полягає в тому, що плоским перерізом сфери є коло. Якщо таке коло торкається великого кола і буде при цьому по ньому перекочуватися, то всі його точки лежатимуть на сфері. З цього випливає, що окрема точка кола при його коченні буде описувати криву, тобто сферичну циклоїду, яка повністю лежатиме на сфері. Для побудови сферичної центроїди запропоновано застосувати тригранник Дарбу. За аналогом центроїд у площині побудовано подовжену і укорочену центроїди. Показано, що запропонований підхід дозволяє будувати і інші сферичні криві. Отримано параметричні рівняння кривих, в тому числі сферичних циклоїд, а також сферичних прообразів гіпо- і епоциклоїд. З допомогою засобів комп’ютерної  графіки показано, що отримані криві лежать на поверхні сфери. За аналогією із плоскими зображеннями знайдено умови, за яких ці криві є замкненими, тобто точка після проходження заданого числа віток повертається у вихідне положення.