АНАЛІТИЧНИЙ ЗВ'ЯЗОК МІЖ ТРИГРАННИКОМ ФРЕНЕ НАПРЯМНОЇ КРИВОЇ І ТРИГРАННИКОМ ДАРБУ ЦІЄЇ Ж КРИВОЇ НА ПОВЕРХНІ

Анотація

Тригранник Френе відіграє надзвичайно велику роль в теорії диференціальної геометрії. Він стосується кривих ліній, яких будемо називати напрямними. В поточній точці напрямної кривої можна однозначно побудувати три взаємно перпендикулярних одиничні орти цього тригранника. Орт дотичної  спрямований по дотичній до кривої в поточній точці. Орт головної нормалі  розташований в площині, яку утворюють три точки кривої по різні сторони від поточної при їх граничному зближенні до поточної точки. Він спрямований до центра кривини кривої. Орт бінормалі  перпендикулярний до двох ортів  і  і має напрям за правилом правої системи координат. Таким чином, рух тригранника Френе по напрямній кривій, як твердого тіла, буде визначеним. Його можна описати в нерухомій системі координат через дев’ять напрямних косинусів або  через три кути Ейлера в сферичній системі координат, які визначаються через напрямні косинуси. Самі ж напрямні косинуси визначаються через перші і другі похідні рівнянь напрямної кривої.

          Тригранник Дарбу теж представляє собою праву систему координат, яка рухається вздовж напрямної кривої, що лежить на поверхні. Його орт дотичної  теж спрямований по дотичній до кривої в поточній точці, а інші орти попарно утворюють певний кут ε з ортами тригранника Френе. Це зумовлено тим, що один із ортів тригранника Дарбу є нормаллю до поверхні і утворює із бінормаллю певний кут ε. Відповідно третій орт  тригранника Дарбу утворює кут ε з ортом  тригранника Френе. Орти  і  тригранника Дарбу утворюють дотичну площину до поверхні в поточній точці кривої, а відповідні орти і  тригранника Френе – стичну площину кривої в цій же точці. Таким чином, при русі тригранників Френе і Дарбу по кривій із суміщеними вершинами відбувається поворот навколо спільного орта на кут ε між стичною площиною тригранника Френе і дотичною площиною до поверхні тригранника Дарбу. В окремому випадку (наприклад, для плоскої кривої) ці тригранники збігаються, тобто ε=0.

          У статті розглянуто аналітичний зв'язок між тригранниками Френе і Дарбу, тобто знаходження виразу кута ε. Розглянута і обернена задача – визначення руху тригранника Дарбу при заданій закономірності зміни кута ε. Розглянуто частковий випадок і показано, що для плоскої напрямної кривої при ε=const множина положень орта  утворює розгортну поверхню однакового нахилу твірних. Зокрема, при ε=90° такою поверхнею буде циліндр, для якого плоска напрямна крива є ортогональним перерізом, а для ε=0° – площина, в якій розташована напрямна крива.