МОДЕЛЮВАННЯ ПРОСТОРОВИХ КРИВИХ ГОДОГРАФА-ПІФАГОРА ІЗ ЗАДАНОЮ ФОРМОЮ
DOI:
https://doi.org/10.32347/0131-579X.2025.108.18-31Ключові слова:
криві годографа Піфагора; кватерніонне представлення; квадратура Гаусса-Радау; багатокутник Гаусса-Радау, інтерполяціяАнотація
У роботі розглядається метод побудови просторових поліноміальних кривих годографа Піфагора (РН криві) за заданим багатокутником Гаусса-Радау. РН криві мають важливі застосування у комп’ютерній графіці, геометричному моделюванні, керуванні рухом матеріальної точки, а також у задачах інтерполяції та апроксимації. Оскільки функція швидкості зміни довжини дуги РН кривої відносно параметра кривої є поліноміальною, то це дає можливість точно обчислювати довжину дуги будь-якого сегмента кривої та виконувати раціональні зміщення кривої, не використовуючи чисельні методи. Довільна поліноміальна РН крива може бути представлена як крива Безьє. Однак багатокутник Безьє не підходить для керування формою РН кривих, оскільки незначна зміна багатокутника призводить до втрати властивості PH. У роботі розглядається багатокутник Гаусса-Радау, вершини якого отримані обчисленням похідних у вузлах квадратури Гаусса-Радау. Застосування цього багатокутника дозволяє керувати формою кривої, не втрачаючи властивості РН. Багатокутник Гаусса-Радау природно визначає початковий дотичний вектор РН кривої, оскільки початкова точка квадратури Гаусса-Радау є наперед визначеним вузлом, а також має властивість інтерполяції кінцевих точок. Для опису просторових РН кривих використовується кватерніонне представлення, яке дозволяє ефективно моделювати криві, контролювати їхню форму, орієнтацію в просторі. Показано, що існує нескінченна кількість поліноміальних просторових РН кривих степеня , які залежать від довільних параметрів, з одним і тим же багатокутником Гаусса-Радау з ребрами. Наведено метод побудови таких кривих та застосовано його до побудови кубічних просторових кривих за заданим багатокутником Гаусса-Радау.
Посилання
Farouki, R., Sakkalis, T. Pythagorean-hodograph space curves. Advances in Computational Mathematics. 1994. Vol. 2, Is. 1. P. 41–66.
Dietz, R., Hoschek, J., Jüttler, B. An algebraic approach to curves and surfaces on the sphere and on other quadrics. Computer Aided Geometric Design. 1993. Vol. 10. P. 211–229.
Moetakef Imani, B., Ghandehariun, A. Real-time PH-based interpolation algorithm for high speed CNC machining. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. 2011. Vol. 56, Is. 5-8. P. 619–629.
Tsai, Y.-F., Farouki, R.T., Feldman, B. Performance analysis of CNC interpolators for time-dependent feedrates along PH curves. Computer Aided Geometric Design. 2001. Vol. 18, Is. 3. P. 245–265.
Choi, H., Lee, D., Moon, H. Clifford algebra, spin representation and rational parameterization of curves and surfaces. Advances in Computational Mathematics. 2002. Vol. 17. P. 5–48.
Kim, S. H., Moon, H. P. Rectifying control polygon for planar Pythagorean hodograph curves. Computer Aided Geometric Design. 2017. Vol. 54. P. 1–14.
Kim, S. H., Moon, H. P. Deformation of spatial septic Pythagorean hodograph curves using Gauss–Legendre polygon. Computers & Graphics. 2019. Vol. 73. P. 16–34.
Farouki, R. T. Existence of Pythagorean-hodograph quintic interpolants to spatial G1 Hermite data with prescribed arc lengths. Journal of Symbolic Computation. 2019. Vol. 95. P. 202–216.
Hermite interpolation by rotation-invariant spatial Pythagorean-hodograph curves / R. T. Farouki [та ін.]. Advances in Computational Mathematics. 2002. Vol. 17. P. 369–383.
Farouki, R. T., Sakkalis, T. Pythagorean hodographs. IBM Journal of Research and Development. 1990. Vol. 34. P. 736–752.
Kwon, S. H. Solvability of G1 Hermite interpolation by spatial Pythagorean-hodograph cubics and its selection scheme. Computer Aided Geometric Design. 2010. Vol. 27. P. 138–149.
Šír, Z., Jüttler, B. C2 Hermite interpolation by Pythagorean hodograph space curves. Mathematics of Computation. 2007. Vol. 76. P. 1373–1391.
Аушева, Н. М. Моделювання сім’ї ізотропних просторових РН-кривих на основі кватерніонів із колінеарною векторною частиною. Сучасні проблеми моделювання. 2016. Вип. 7. С. 3–9.
Jaklic, G., Kozak, J., Krajnc, М., Vitrih, V., Zagar, E. An approach to geometric interpolation by Pythagorean-hodograph curves. Advances in Computational Mathematics. 2012. Vol. 37. P. 123–150.
Arrizabalaga, J., Markus, R. Spatial motion planning with Pythagorean Hodograph curves. У: IEEE 61st Conference on Decision and Control (CDC). Cancun, Mexico, 2022. P. 5187–5192.
Kim, S. H., Moon, H. P. Gauss–Lobatto polygon of Pythagorean hodograph curves. Computers & Graphics. 2020. Vol. 74. Art. 101768.
Romani, L., Saini, L., Albrecht, G. Algebraic-trigonometric Pythagorean-hodograph curves and their use for Hermite interpolation. Advances in Computational Mathematics. 2014. Vol. 40, Is. 5-6. P. 977–1010.
Reference
Farouki R., Sakkalis T. Pythagorean-hodograph space curves. Adv. Comput. Math.. Vol. 2, 1994, P. 41–66. {in English}
Dietz R, Hoschek J. and Jüttler B., An algebraic approach to curves and surfaces on the sphere and on other quadrics, Comput. Aided Geom. Design. V. 10, 1993, P. 211–229. {in English}
Moetakef Imani B., Ghandehariun A. Real-time PH-based interpolation algorithm for high speed CNC machining, The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. V. 56, 58, 2011, P. 619–629. {in English}
Tsai Y.-F., Farouki R.T., and Feldman B. Performance analysis of CNC interpolators for time-dependent feedrates along PH curves, Computer Aided Geometric Design. V.18, N. 3, 2001, P. 245–265. {in English}
Choi H., Lee D., and Moon H. Clifford algebra, spin representation and rational parameterization of curves and surfaces, Advances in Computational Mathematics. V.17, 2002, P. 5–48. {in English}
Kim S.H., Moon H.P. Rectifying control polygon for planar Pythagorean hodograph curves, Comput. Aided Geom. Des. V. 54, 2017, P. 1–14.
Kim S.H., Moon H.P. Deformation of spatial septic Pythagorean hodograph curves using Gauss–Legendre polygon, Comput. Aided Geom. Des. V. 73, 2019, P. 16–34. {in English}
Farouki R.T. Existence of Pythagorean-hodograph quintic interpolants to spatial G1 Hermite data with prescribed arc lengths, J. Symb. Comput. V. 95, 2019,
P. 202–216. {in English}
Farouki R.T., et al., Kandari M., Sakkalis T. Hermite interpolation by rotation-invariant spatial Pythagorean-hodograph curves, Adv. Comput. Math. V. 17, 2002, P. 369–383. {in English}
Farouki R.T., Sakkalis T. Pythagorean hodographs. IBM J. Res. Dev. V. 34, 1990, Р. 736–752. {in English}
Kwon S.H. Solvability of G1 Hermite interpolation by spatial Pythagorean-hodograph cubics and its selection scheme, Comput. Aided Geom. Des. V. 27, 2010, P. 138–149. {in English}
Šír Z., Jüttler B., C2 Hermite interpolation by Pythagorean hodograph space curves, Math. Comput. V. 76, 2007, P. 1373–1391. {in English}
Ausheva N.M. Modeliuvannia simi izotropnykh prostorovykh RN-kryvykh na osnovi kvaternioniv iz kolinearnoiu vektornoiu chastynoiu, Suchasni problemy modeliuvannia. V. 7, 2016, C. 39. {in Ukranian}
Jaklic G, Kozak J., Krajnc М., Vitrih V., Zagar E. An approach to geometric interpolation by Pythagorean-hodograph curves, Advances in Computational Mathematics. V.37, 2012, P. 123-150. {in English}
Arrizabalaga1 J., Markus R. Spatial motion planning with Pythagorean Hodograph curves, IEEE 61st Conference on Decision and Control (CDC), 06-09 December 2022. {in English}
Kim S.H., Moon H.P. Gauss–Lobatto polygon of Pythagorean hodograph curves, Comput. Aided Geom. Des. 74, 101768. {in English}
Romani L., Saini L, Albrecht G. Algebraic-trigonometric Pythagorean-hodograph curves and their use for Hermite interpolation, Advances in Computational Mathematics, 2014, 40 (5-6), P. 977-1010. {in English}
##submission.downloads##
Опубліковано
Версії
- 2025-07-05 (2)
- 2025-07-03 (1)
Номер
Розділ
Ліцензія
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
